初中数学第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试练习

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试

第十四章 整式的乘法与因式分解（提升卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．计算的结果是                                            （   ）

A． B． C． D．

【解析】

解：=，

故选：A．

【点睛】

本题考查单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解答的关键．

2．下列单项式中，使多项式能用平方差公式因式分解的M是       （   ）

A．a B． C．-16a D．

【解析】

解：A、16a2+a，不符合平方差公式，不符合题意；

B、16a2+b2，不符合平方差公式，不符合题意；

C、16a2-16a，不符合平方差公式，不符合题意；

D、16a2-b2，符合平方差公式，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），掌握平方差公式是解题的关键．

3．若，则代数式的值为                          （   ）

A． B．9 C．7 D．5

【解析】

解：∵，

∴

∴

=9．

故选:B．

【点睛】

本题考查求代数式的值，完全平方式，解题关键能发现所给的条件等式与所求代数式之间的关系．

4．把一块边长为米（）的正方形土地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成一块长方形土地，你觉得土地的面积                                    （   ）

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定

【解析】

解：由题意得：长方形土地的长为米，宽为米，

∴长方形的面积为，正方形的面积为平方米，

∴，

∴我觉得土地的面积变小了；

故选C．

【点睛】

本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

5．观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式  （   ）

A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2

B．（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2

C．（a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2

D．（a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2

【解析】

解：∵长方形的面积=（a+b）（a+2b）

长方形的面积=a2+ab+ab+ab+b2+b2= a2+3ab+2b2，

∴（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2

故选：A．

【点睛】

本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．

6．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．

通过阅读，解答问题：当x取何值时，代数式有最大或最小值，是多少？（  ）

A．当时，有最小值． B．当时，有最小值7．

C．当时，有最大值7． D．当时，有最大值．

【解析】

解：

=

=

=

∴当时，有最大值7，

故选：C．

【点睛】

本题考查求代数式的最值，完全平方公式的应用，解题的关键是参照样例对代数式进行变形．

7．如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲，将A、B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8，则正方形A、B的面积之和为                          （   ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【解析】

解：设大小正方形边长分别为a、b，

S阴1＝（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，

S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8，得：ab＝4．

∴a2+b2﹣2×4＝1，

∴a2+b2＝9．

故选：B．

【点睛】

考查了完全平方式的应用，把阴影部分表示出来是解题的关键．

8．若，，则与的关系为                （   ）

A． B． C． D．不能确定

【解析】

解：∵，，

＞0，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．

二、填空题（每题3分，共24分）

9．计算：_________．

【解析】

解：

．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

10．计算：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=__________．

【解析】

解：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2

=202.2×（4.3+7.6-1.9）

=202.2×10

=2022，

故答案为：2022．

【点睛】

本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式的方法是正确应用的前提．

11．已知，，则________．

【解析】

解：

故答案为：15．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解此题的根据．

12．若是完全平方式，则______．

【解析】

解：∵是完全平方式，

∴m−3＝±6，

解得：m＝-3或9．

故答案为：-3或9．

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13．已知，，若用含x的代数式表示y，则______．

【解析】

∵，，

∴，，

∴，

即，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键．

14．若满足，则________．

【解析】

解：，

又，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键．

15．已知，，则m+n+c的值为__________．

【解析】

解：∵m−n＝6，

∴m＝n＋6，

∵，

∴n（n＋6）＋c2＋16c＋73＝0，

∴n2＋6n＋c2＋16c＋73＝0，

∴n2＋6n＋9＋c2＋16c＋64＝0，

∴（n＋3）2＋（c＋8）2＝0，

∴n＋3＝0，c＋8＝0，

∴n＝−3，c＝−8，

∴m＝n＋6＝−3＋6＝3，

∴m＋n＋c＝3＋（−3）＋（−8）＝−8，

∴m＋n＋c的值为−8．

故答案为：−8．

【点睛】

本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．

【解析】

解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

【点睛】

本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．计算

(1)计算：（2x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；

(2)用简便方法计算：20212﹣2020×2022．

【解析】

（1）解：原式=4x2-4xy+y2-4x2+y2=-4xy+2y2；

（2）解：原式=(2020+1)2-2020×(2020+2)=20202+2×2020×1+1-20202-2020×2=1．

【点睛】

本题考查整式混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

18．以下是小鹏化简代数式的过程．

(1)小鹏的化简过程在第______步开始出错，错误的原因是______．

(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．

【解析】

（1）小鹏在第①步开始出错，（a-2）2≠a2-2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．

故答案为：①，完全平方公式运用错误．

（2）（a-2）2+（a+1）（a-1）-2a（a-3）

=a2-4a+4+a2-1-2a2+6a

=2a+3．

∴当时，原式=2×（-0.5）+3=2．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．

19．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了a，分解结果为，乙看错了b，分解结果为．求多项式分解因式的正确结果．

【解析】

解：∵，甲看错了的值，

∴，

又∵，乙看错了的值，

∴，

∴多项式．

故答案为：．

【点睛】

本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．

20．如图，学校有一块长为，宽为的长方形土地，四个角留出四个边长为的小正方形空地，剩余部分进行绿化．

(1)用含、的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）

(2)当，时，求要进行绿化的土地面积．

【解析】

 (1)

解：由于S绿化面积＝S长方形﹣4S小正方形，因此有，

（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2

＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2

＝（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2），

答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）；

(2)

解：当a＝6，b＝10时，

原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）

答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2．

【点睛】

本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提．

21．计算并观察规律，完成下列问题：

例：计算：

解：设，则原式．

(1)计算：；

(2)若，，请比较M、N的大小．

【解析】

 (1)设223=x，

∴2232-224×122

=x2-（x+1）（x-1）

=x2-x2+1

=1；

(2)设123456786=x，

∴M=123456789×123456786

=（x+3）•x

=x2+3x，

N=123456788×123456787

=（x+2）（x+1）

=x2+3x+2，

∴M＜N．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，理解例题的解题思路是解题的关键．

22．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．

(1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　   　．

(2)小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：

（2+1）（22﹣1）（24+1）

＝1•（2+1）（22+1）（24+1）

＝　   　．

（请你将以上过程补充完整．）

(3)利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．

【解析】

（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，图②是长为（a＋b），宽为（a−b）的长方形，因此面积为（a＋b）（a−b），由图①、图②面积相等可得：（a＋b）（a−b）＝a2−b2，故答案为：（a＋b）（a−b）＝a2−b2；

（2）解：原式＝（2−1）•（2＋1）（22＋1）（24＋1）＝（22−1）（22＋1）（24＋1）＝（24−1）（24＋1）＝28−1，故答案为：28−1；

（3）解：原式＝＋（3−1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（32−1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（34−1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）＝＋（38−1）（38＋1）（316＋1）＝＋（316−1）（316＋1）＝＋（332−1）＝＋−＝．

【点睛】

本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．

23．先阅读，再解答．

例：，求的值．

解：∵

∴

即

(1)已知，求的值；

(2)已知为ΔABC的三边，且满足判断ΔABC的形状，并说明理由．

【解析】

 (1)解：∵

∴

即

∵

∴

∴

∴．

(2)解：ΔABC是等边三角形，

理由∵

∴

∴

∵

∴

∴

即

∴ΔABC是等边三角形．

【点睛】

本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

24．（1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和．

方法1：____________________________；

方法2：____________________________．

（2）请你直接写出三个代数式：，，ab之间的等量关系．

（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：

①已知，，求mn和的值；

②已知，求的值．

【解析】

解：（1）方法1：两个阴影部分的面积和就是边长为的正方形，与边长为的正方形的面积和，即；

方法2：两个阴影部分的面积和也可以看作从边长为的正方形面积中减去两个长为，宽为的长方形面积，即；

故答案为：，；

（2）由（1）得，；

（3）①，

，

，

，

即；

，

答：，；

②设，，则，，

所以，

即，

所以，

即．

【点睛】

本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的代数式表示阴影部分的面积．

25．在求代数式值的问题中，有时通过观察式子的特点，可以找到较为简单的解法．

例如，若x满足，求的值，可以按下列的方法来解：

解：设，，则，，

∴，∴，

∴．

请仿照上面的方法求解下面的问题：

(1)若x满足，求的值；

(2)将正方形ABCD和正方形EFGH按如图所示摆放，点F在BC边上，EH与CD交于点I，且，，长方形EFCI的面积为24，以CF为边作正方形CFMN．设，

①用含x的代数式直接表示EF和CF的长；

②求图中阴影部分的面积．

【解析】

 (1)解：设，，则，，

∴；

(2)①∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，四边形EFCI是长方形，，，

∴CD＝AD＝x，

∴，

∴FG＝，

∴；

②∵长方形EFCI的面积为24，

∴，

设，，则，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和平分差公式的应用，牢记完全平方公式和平方差公式以及变形公式（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab是解题关键．