山东省东营市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

这是一份山东省东营市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题，共37页。试卷主要包含了2022；，﹣2﹣|3+2|；，，OA＝，tan∠AOC＝，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
山东省东营市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•东营）（1）计算：（+2）（﹣2）+÷﹣（﹣）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3，y＝2．
2．（2021•东营）（1）计算：+3tan30°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+82021×（﹣0.125）2021；
（2）化简求值：，其中＝．
3．（2020•东营）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；
（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
三．一次函数的应用（共2小题）
5．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
6．（2020•东营）2020年初，新冠肺炎疫情暴发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
四．反比例函数综合题（共1小题）
7．（2021•东营）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．

五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2020•东营）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

10．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

七．四边形综合题（共1小题）
11．（2022•东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．

（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

八．切线的判定与性质（共3小题）
12．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

13．（2021•东营）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．

14．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．

九．几何变换综合题（共2小题）
15．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 　 　．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

16．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想．
图1中，线段NM、NP的数量关系是　 　，∠MNP的大小为　 　．
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．

一十．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•东营）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？

一十二．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2022•东营）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
20．（2021•东营）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有 　 　名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 　 　；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
21．（2020•东营）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况
频数
频率
非常好
　 　
0.22
较好
68
　 　
一般
　 　
　 　
不好
40
　 　
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．


山东省东营市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•东营）（1）计算：（+2）（﹣2）+÷﹣（﹣）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3，y＝2．
【解答】解：（1）原式＝（）2﹣22+﹣1+（﹣2×）2022
＝3﹣4+4﹣1+1
＝3；
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝3，y＝2时，原式＝＝5．
2．（2021•东营）（1）计算：+3tan30°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+82021×（﹣0.125）2021；
（2）化简求值：，其中＝．
【解答】解：（1）原式＝2+3×﹣2++1+（﹣8×0.125）2021
＝2+﹣2++1﹣1
＝4﹣2；
（2）原式＝++
＝
＝
＝，
∵＝，
∴n＝5m，
∴原式＝＝．
3．（2020•东营）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；
（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．
【解答】解：（1）原式＝3+（2×）2020﹣22﹣（3+2）
＝3+1﹣4﹣3﹣2
＝﹣6；
（2）原式＝•
＝•
＝x﹣y．
当x＝+1，y＝时，
原式＝+1﹣
＝1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
三．一次函数的应用（共2小题）
5．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为x（1﹣20%）元，
由题意得：
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为450元．
6．（2020•东营）2020年初，新冠肺炎疫情暴发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，
由题意可得：，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，
由题意可得：12a+4（20﹣a）≤216，
∴a≤17，
∵w＝（18﹣12）a+（6﹣4）（20﹣a）＝4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，
∴a＝17时，w有最大利润＝108（万元），
答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．
四．反比例函数综合题（共1小题）
7．（2021•东营）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．

【解答】解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC＝＝，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣，
∴x＝，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（，﹣3），
∴S△ODB＝OD•xB＝×2×＝，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODB＝2×＝，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣，
∴OC＝，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP＝OC•yP＝×n＝，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点P在双曲线上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；

（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥．


五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
8．（2020•东营）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．

六．二次函数综合题（共2小题）
9．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（5+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．


10．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）
＝﹣x2+x+2+x﹣2
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．

七．四边形综合题（共1小题）
11．（2022•东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．

（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是 　CD＝EF　，位置关系是 　CD∥EF　；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

【解答】解：（1）∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴EF＝AB＝CD，∠ADC＝∠FED，
∴EF∥CD，
故答案为：CD＝EF，CD∥EF；

（2）结论成立．
理由：如图2中，连接BF．

∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴∠FAD＝∠BAC，AF＝AD，AB＝AC，
∴∠FAB＝∠DAC，
∴△FAB≌△DAC（SAS），
∴BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝60°，
∵AE＝BD，AB＝BC，
∴BE＝CD＝BF，
∴△EFB是等边三角形，
∴EF＝BF＝CD，∠FEB＝∠ABC＝60°
∴EF∥CD；
证法二：先证△CAE≌△ABD，得到CE＝AD＝DF，
再证明CE∥DF，
即可得四边形CDFE是平行四边形，
即可得出结论平行且相等．

（3）当点D是BC的中点时，四边形EFDC的面积是△ABC的面积的一半．此时四边形BDEF是菱形．
理由：如图3中，连接DF．

由（2）可知，△BEF是等边三角形，BE＝CD，
∵BD＝CD，
∴BE＝CB，
∵△BEF∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵EF∥CD，EF＝CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴S平行四边形EFDC＝2S△EFB，
∴＝．
连接DE．∵BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵△BEF是等边三角形，
∴四边形BDEF是菱形．
八．切线的判定与性质（共3小题）
12．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cos∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，
∴BC＝2，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×2×1
＝﹣．

13．（2021•东营）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
在Rt△ADF中，由勾股定理得DF2＝AD2﹣AF2＝3，
在Rt△ODF中，由勾股定理得OF＝，
∴线段OF的长为．
14．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径AB的长度．

【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，
∴AM2＝ME2+AE2，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM＝90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC＝∠AEM＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，
∵OM2＝ME2+OE2，
∴r2＝32+（4﹣r）2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝．

九．几何变换综合题（共2小题）
15．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 　OC＝OD　．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

【解答】解：（1）猜想：OC＝OD．
理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD，
故答案为：OC＝OD；

（2）数量关系依然成立．
理由：过点O作直线EF∥CD，交AC的延长线于点E，

∵EF∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠OFD＝90°，CE＝DF，
由（1）知，OE＝OF，
在△COE与△DOF中，
，
∴△COE≌DOF（SAS），
∴OC＝OD；

（3）①结论成立．
理由：如图3中，延长CO交BD的延长线于点E，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∴∠ACO＝∠E，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO，
又∵∠AOC＝∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（AAS），
∴CO＝OE，
∵∠CDE＝90°，
∴OD＝OC＝OE，
∴OC＝OD．

②结论：AC+BD＝OC．
理由：如图3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC，∠OCD＝60°，
∵∠CDE＝90°，
∴tan60°＝，
∴DE＝CD，
∵△AOC≌△BOE，
∴AC＝BE，
∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD，
∴AC+BD＝OC．
16．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想．
图1中，线段NM、NP的数量关系是　NM＝NP　，∠MNP的大小为　60°　．
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：NM＝NP；60°；

（2）△MNP是等边三角形．
理由 如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，
∴MN≤2，
∴△MNP的面积＝＝，
∴△MNP的面积的最大值为．
一十．解直角三角形的应用（共1小题）
17．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，
∴BC＝＝AB，
∵BC﹣AD＝CD＝33m，
∴AB﹣＝33，
∴AB＝≈78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•东营）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，
由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°，AC＝60海里，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝30（海里），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝∠NBD﹣∠NBC＝90°﹣45°＝45°，
∴BC＝CD＝60（海里），
∴60÷50＝1.2（小时），
∴从B处到达C岛处需要1.2小时．

一十二．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2022•东营）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　200　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：

（3）1280×＝512（名），
答：估计参加B项活动的学生为512名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
20．（2021•东营）为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）九（1）班共有 　50　名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为 　108°　；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：

（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同主题的结果有4种，
∴小明和小丽选择相同主题的概率为＝．
21．（2020•东营）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．
作业情况
频数
频率
非常好
　44　
0.22
较好
68
　0.34　
一般
　48　
　0.24　
不好
40
　0.20　
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

【解答】解：（1）根据题意得：40÷＝200（名），
则本次抽样共调查了200名学生；
（2）填表如下：
作业情况
频数
频率
非常好
44
0.22
较好
68
0.34
一般
48
0.24
不好
40
0.20
故答案为：44；48；0.34；0.24；0.20；
（3）根据题意得：1800×（0.22+0.34）＝1008（名），
则该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1008名；
（4）列表如下：

A1
A2
B
C
A1
﹣﹣﹣
（A1，A2）
（A1，B）
（A1，C）
A2
（A2，A1）
﹣﹣﹣
（A2，B）
（A2，C）
B
（B，A1）
（B，A2）
﹣﹣﹣
（B，C）
C
（C，A1）
（C，A2）
（C，B）
﹣﹣﹣
由列表可以看出，一共有12种结果，且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有2种，
则P（两次抽到的作业本都是“非常好”）＝＝．