湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

这是一份湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题，共33页。试卷主要包含了÷，其中a＝﹣1，先化简，再求值，阅读材料，解答问题，已知等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
2．（2021•黄石）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．
3．（2020•黄石）先化简，再求值：﹣，其中x＝5．
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
4．（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
5．（2020•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
三．根与系数的关系（共3小题）
6．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
7．（2021•黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
8．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
四．反比例函数综合题（共1小题）
9．（2020•黄石）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．

五．二次函数的应用（共1小题）
10．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
8＜x≤10
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
六．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

12．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．

13．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．

七．全等三角形的判定与性质（共3小题）
14．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．

15．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．

16．（2020•黄石）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．

八．圆的综合题（共3小题）
17．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．

18．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

19．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
20．（2020•黄石）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．

一十．列表法与树状图法（共3小题）
21．（2022•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生；表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
22．（2021•黄石）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 　 　人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．

23．（2020•黄石）我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．

湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
原式＝
＝．
2．（2021•黄石）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
3．（2020•黄石）先化简，再求值：﹣，其中x＝5．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
当x＝5时，原式＝．
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
4．（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【解答】解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，
依题意得：，
解得：．
答：笼中鸡有23只，兔有12只．
（2）设笼中鸡有m只，则兔有只，
依题意得：，
解得：13≤m≤33．
设这笼鸡兔共值w元，则w＝80m+60×＝50m+1410．
∵50＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝13时，w取得最小值，最小值＝50×13+1410＝2060；
当m＝33时，w取得最大值，最大值＝50×33+1410＝3060．
答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．
5．（2020•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【解答】解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
根据题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有
3a+2b＝19，
b＝，
∵a，b都是正整数，
∴①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
三．根与系数的关系（共3小题）
6．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；

（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝，
综上所述，a4+b4＝或．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
7．（2021•黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
8．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，
解得：m＝9．
四．反比例函数综合题（共1小题）
9．（2020•黄石）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．

【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（1，2），
∵点A（1，2）是反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x图象的交点，
∴k＝1×2＝2，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝2x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝1或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣2），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝2，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，且BC∥x轴，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
五．二次函数的应用（共1小题）
10．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
8＜x≤10
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【解答】解：（1）由题意，，
解得，；

（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W＝y﹣20x，
∴W＝，
当0≤x≤8时，
W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，W最大＝490，
当x＞8时，W＝640﹣20x，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜480，
故排队人数最多时有490人；

（3）要全部学生都完成体温检测，根据题意得：640﹣20x＝0，
解得：x＝32，
所以全部学生都完成体温检测要32分钟；
开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：
5×20（m+4）≥640，
解得：m≥2.4，
∵m为整数，
∴m＝3，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
六．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　，　（3，0）　，　（0，4）　．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，

∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
12．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）∵y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣3的顶点为（3，6）．
设点Q的坐标为（p，q）（q≤6），
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+6x﹣3上，
∴q＝﹣p2+6p﹣3
则PQ2＝（p﹣3）2+（q﹣t）2＝p2﹣6p+9+q2﹣2tq+t2，
将q＝﹣p2+6p﹣3代入上式得：
PQ2＝q2﹣（2t+1）q+t2+6．
∵二次项系数为1＞0，
∴PQ2有最小值，
当t＞时，＞6，
∴q＝6时，PQ2最小，即PQ最小．
≤36﹣12t﹣6+t2+6＝t2﹣12t+36＝（t﹣6）2，
∴PQ＝|t﹣6|＝．
当t≤时，≤6，
∴q＝时，PQ2最小，即PQ最小．
∴PQ2＝，
∴PQ的最小值为．
综上所述PQ的最小值＝．
13．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．

【解答】解：（1）把A（﹣3.1）代入y＝﹣x2+kx﹣2k，
得﹣9﹣3k﹣2k＝1．
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）如图1，设C（t，﹣t2﹣2t+4），则E（t，﹣﹣t+2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（﹣3，1），（0，4）代入得到，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∵E（t，﹣﹣t+2）在直线AB上，
∴﹣﹣t+2＝t+4，
解得t1＝t2＝﹣2，
∴C（﹣2，4）．

（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，
当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，
∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），
二次函数的顶点N（，﹣2k），
①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若＞2时，则k＞4，
∵M（2﹣，0），H（2，﹣4），
∴MI＝，HI＝4，
∴tan∠MHI＝＝，
∴∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴∠NHI＝30°，
即∠GNH＝30°，
由图可知，tan∠GNH＝＝＝，
解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．

②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．

若＜2，则k＜4，
同理可得，∠MHI＝30°，
∵∠MHN＝60°，
∴NH⊥HI，
即﹣2k＝﹣4，
解得k＝4（不符合题意舍弃）．
③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，
综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．


七．全等三角形的判定与性质（共3小题）
14．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．
15．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．

【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
16．（2020•黄石）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．

【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，
∴∠EAB＝∠E＝40°，
∵∠DAB＝70°，
∴∠DAE＝30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
八．圆的综合题（共3小题）
17．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．

【解答】（1 ）证明：连接OA，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝，
∵∠BAC＝∠ADB，
∴tan∠BAC＝tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
18．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．

（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAP＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．

19．（2020•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．

【解答】解：（1）如图，连接OD，

则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝＝，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，

∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AB•AF．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
20．（2020•黄石）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度．已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC＝18米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．

【解答】解：如图所示：
由题意得：BE＝AC＝18米，CE＝AB，∠DBE＝30°，∠CBE＝45°，
在Rt△EDB中，∠DBE＝30°，＝tan30°，
∴DE＝BE×tan30°＝18×＝18（米），
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CE＝AB＝AC＝18米，
∴CD＝DE+CE＝（18+18）米；
答：乙栋楼房CD的高度为（18+18）米．

一十．列表法与树状图法（共3小题）
21．（2022•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　50　名学生；表中a＝　20　，b＝　0.28　，c＝　0.08　；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：12÷0.24＝50（名），
∴a＝50×0.40＝20，b＝14÷50＝0.28，c＝4÷50＝0.08，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2）∵所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
∴所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为：×（3×12+4×20+5×14+6×4）＝4.2；
（3）画树状图如下：

共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
∴所选2名同学中有男生的概率为＝．
22．（2021•黄石）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 　50　人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是 　108°　；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．

【解答】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%＝50（人），
扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是：360°×＝108°；
故答案为：50，108°；

（2）C景点的人数有：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：


（3）根据题意有四种情形：AA，AB，BA，BB，其中两位老师在同一个小组的有2种情况，
则两位老师在同一个小组的概率是．
23．（2020•黄石）我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

（2）共有12种可能出现的结果，其中“一男一女”的有8种，
∴P（一男一女）＝＝．