2021-2022学年广东省惠州市八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年广东省惠州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 对于函数是常数，的图象，下列说法不正确的是(    )

A. 是一条直线 B. 经过点
C. 随着增大而减小 D. 经过第一、第三象限

3. 下列是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是(    )

A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且

5. 三角形三边长为，，满足，则这个三角形是(    )

A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形

6. 年北京冬奥会自由式滑雪女子型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：，，，，，，关于这组数据，下列描述正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

7. 用配方法解方程，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，下列式子可以求出在菱形面积的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点设点到边的距离为，随变化的函数图象所示，则图中函数图象的最低点的坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
12. 王俊懿、刘芷妍两位同学在射击比赛中各射击次的成绩如图所示，她们的平均成绩均为环，若王俊懿射击次成绩的方差为，刘芷妍射击次成绩的方差为，则______填“”，“”“”

13. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则______．
14. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为______．

15. 如图，一次函数的图象为直线，菱形，，，按图中所示的方式放置，顶点，，，，均在直线上，顶点，，，均在轴上，则点的纵坐标是______．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解方程：．
    计算：．
17. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩单项满分分如下表所示：

如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，应该录取谁？

18. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
    若该方程的两个实数根，，满足求的值．
19. 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元不含套餐成本试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过元，每天可销售份；若每份套餐售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价元取整数，用元表示该店每天的利润．
    若每份套餐售价不超过元．
    试写出与的函数关系式；
    若要使该店每天的利润不少于元，则每份套餐的售价应为多少元？
    该店把每份套餐的售价提高到元以上，每天的利润能否达到元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点过点且与平行的直线交轴于点．
     

求直线的解析式；

直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中，与轴交点的横坐标的取值范围．

21. 如图，已知等边中，、分别是、边上的中线，与、相交于点，点、分别为线段和中点．
    求证：四边形是矩形；
    若等边的边长为，求矩形的面积．

22. 初二班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．如图在直角三角形中，，点是边上的一个动点不与、重合连接若是等腰三角形，求线段的长．
    方法一：王朗坤同学利用学习的勾股定理进行解决，当为等腰三角形时，，设，则，所以在直角三角形中，利用勾股定理，可得：．
    解得：所以当为等腰三角形时，的长为．
    方法二：王子贺同学提前预习了函数这一章节的内容，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题．
    下面是他的探究过程，请你补充完整．
    根据点在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格：

表格中的值为______．
王子贺同学分析得知可以不用测量的值，因为与满足关系式______；
将的长作为自变量，的长为的函数，记为，在下面平面直角坐标系中画出函数关于的图象，并写出该函数的一条性质：______．
继续在平面直角坐标系画出用表示关于的函数图象，并结合图形直接写出，当为等腰三角形时，线段的长度的近似值精确到．
 

23. 如图，在中，，，过点作且点在点的右侧．点、分别是射线，射线上的一点，点是线段上的点，且，设，为，则，当点为中点时，．
    求，的长度；
    若，求的长；
    请问是否存在的值，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：化简后被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、函数是正比例函数，此函数的图象是一条直线，故本选项正确；
B、当时，，过点，故本选项正确；
C、，随着增大而减小，故本选项正确；
D、，函数图象经过二四象限，故本选项不正确．
故选：．
根据正比例函数的性质进行解答即可．
本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象经过的象限是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是分式方程，故本选项不合题意；
B.是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.未知数是最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象经过第一、三、四象限，得，．
故选：．
经过第一、三象限，说明的系数大于，得，又经过第四象限，说明常数项小于，即，即可确定的取值范围．
本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三、四象限，说明的系数大于，常数项小于．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，，，
，，
，
这个三角形是直角三角形，
故选：．
根据已知条件可得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
本题考查了直角三角形的判定，涉及非负数的性质，勾股定理的逆定理等，求出三角形的三边长是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数为，故选项A符合题意；
这组数据出现最多的数是，故众数为，故选项B不符合题意；
这组数据的平均数是，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为，故选项D不符合题意；
故选：．
根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据配方法解一元二次方程的步骤得到，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
由题意可知，，
故选：．
根据菱形的面积公式可得出答案．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图知，当点和点重合时，，
，
即正方形的边长为，
如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点，

根据点的对称性，，
则为最小，
，，
，
过点作，垂足为，
四边形是正方形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
图象上最低点的坐标是，
故选：．
先根据图得出正方形边长，再根据点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，根据勾股定理求出，再根据∽，得出，，由，得，即可得最低点的坐标．
本题考查动点问题的函数图象，涉及正方形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理等知识，关键是从图中读取信息，求出正方形的边长．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，解不等式可求的范围．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：由折线统计图知，由王俊懿成绩相对于平均成绩的波动幅度小于刘芷妍成绩相对于平均成绩的波动幅度，
，
故答案为：．
利用平均数和方差的意义进行判断．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：
把代入方程计算即可求出的值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据图象可得：不等式的解集为：，
故答案为：．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，因此．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数，
，，
四边形是菱形，
与关于轴对称，与互相垂直平分，
，轴，且是的中位线，
，
同理，与互相垂直平分，
把代入得，
，
垂直平分，
，，
把代入得，
，
垂直平分，
，
的纵坐标是：．
故答案为：．
首先求得直线的解析式与、轴的交点，然后根据菱形的性质求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
，；


． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
先算二次根式的乘除法，再算加减法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：甲的平均成绩为分；
乙的平均成绩为分，
因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，
所以乙被录用；

根据题意，甲的平均成绩为分，
乙的平均成绩为分，
因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲被录用． 

【解析】根据算术平均数的定义列式计算可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．
 

18.【答案】证明：

，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

解：由根与系数的关系得出，，
，
，
，
，
解得． 

【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
先根据根与系数的关系得出，，由知，即，从而列出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

19.【答案】解：．
依题意得：，解得：，
，且每份套餐的售价元取整数，
每份套餐的售价应为元或元．
能，理由：
依题意可知：每份套餐售价提高到元以上时，
，
当时，
，
解得：，，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取，即不符合题意．
故该套餐售价应定为元． 

【解析】本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
本题考查的是分段函数的知识点：
当时，，
根据题意可得，解出即可．
当时，，把代入，并解答．
 

20.【答案】解：把代入得，则，
点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，
，
过点且与平行的直线交轴于点，
的解析式可设为，
把代入得，解得，
直线的解析式为；
当时，，则，
当时，，解得，则直线与轴的交点坐标为；
易得平移到经过点时的直线解析式为，
当时，，解的，则直线与轴的交点坐标为，
直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围为． 

【解析】先把代入得，再利用点的平移规律得到，接着利用两直线平移的问题设的解析式为，然后把点坐标代入求出即可得到直线的解析式；
先确定，再求出直线与轴的交点坐标为；易得平移到经过点时的直线解析式为，然后求出直线与轴的交点坐标，从而可得到直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围．
本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．
 

21.【答案】证明：、分别是、边上的中线，
，，
点、分别为线段和中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在等边中，，
、分别是、边上的中线，
，，
，
，
四边形是矩形；
解：等边的边长为，
，
，，
根据勾股定理，得，
，
矩形的面积． 

【解析】根据已知条件可知是的中位线，是的中位线，可得，，四边形是平行四边形，根据等边三角形得性质可得，进一步可得，即可得证；
根据等边三角形的性质可得，，进一步可得，即可求出矩形的面积．
本题考查了矩形的判定和性质，涉及等边三角形的性质，矩形的面积等，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】    随的增大而增大 

【解析】解：在中，直角边，，
，
当时，点与点重合，
与重合，
，
故答案为：．
点是边上的动点，
，
，
故答案为：．
，，
根据中的与的对应值画出关于的函数图象如图中的曲线所示，
图中的曲线从左到右上升，
随的增大而增大，
故答案为：随的增大而增大．
，，且，
，
，
画出关于的函数图象如图中的线段所示，
图象中的曲线与线段的交点表示，即，
由图象可知，，
当为等腰三角形时，线段的长度的近似值为．
先由直角边，，根据勾股定理求得斜边，当时，则与重合，所以；
点是边上的动点，则，即可得到问题的答案；
根据中的与的对应值画出关于的函数图象，可知该函数图象从左到右上升，即可得到该函数的一条性质：随的增大而增大；
由，，且，求得关于的函数关系式为，画出它的图象，该图象与中的函数图象的交点表示，即，由图象可知此时．
此题重点考查一次函数的图象与性质、勾股定理的应用、等腰三角形的定义、数形结合数学思想的运用等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，
，
，
点为中点，
，
，
；
作于点，

，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；
存在，当为边时，则，
，
，
解得，
当为对角线时，

则，
，
解得，
综上所述：当或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 

【解析】当时，，即，从而得出、的长，进而得出答案；
作于点，由四边形是平行四边形，得，则，解方程即可解决问题；
分为平行四边形的边或对角线两种情形，分别表示出的长，可得答案．
本是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是运用方程思想解决问题．