2021-2022学年山东省聊城市临清市、东阿县八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省聊城市临清市、东阿县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题错误的是(    )

A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

4. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，
C. ，， D. ，，

5. 若，则下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必然是(    )

A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形
C. 正方形 D. 对角线相等的四边形

7. 已知点在第三象限，则整数的值是(    )

A.  B. ， C. ， D. ，，

8. 某种商品进价为元，标价元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打折．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 中，，，高，则的面积为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 若不等式组的解为，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，矩形中，线段垂直平分，分别交、于点、，垂足为，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本题共5小题，共15分）

13. 的算术平方根是______．
14. 如图，在菱形中，已知，，对角线、交于点，那么菱形的面积为______．

15. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为______．

16. 关于的一元一次不等式组恰有一个整数解，则的取值范围是______．
17. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为______．

三、解答题（本题共8小题，共69分）

18. 计算：
    ；
    ．
19. 解不等式
    解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
    解不等式组．

20. 已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
21. 如图，中，，分别是，的中点，，过点作，交的延长线于点求证：四边形是菱形．

22. 疫情防控期间，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元；购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元．
    求甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？
    如果学校要购买甲、乙两种洗手液共瓶，且总费用不超过元，求至少要购买甲种洗手液多少瓶？
23. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千的长．

24. 已知：如图，，分别是与它的邻补角的平分线，，垂足为点，，垂足为点，分别交边，于点和．
    求证：
    四边形是矩形；
    ．

25. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于．
    证明：；
    求的度数；
    如图，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是无理数，因此选项A符合题意；
B.是有理数，不是无理数，因此选项B不符合题意；
C.．是有理数，不是无理数，因此选项C不符合题意；
D.，是有理数，不是无理数，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据无理数的定义进行判断即可．
本题考查无理数、算术平方根，理解无理数的定义是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式为最简结果，错误；
C、原式没有意义，错误；
D、原式，正确，
故选D
原式各项利用平方根，算术平方根，以及立方根定义计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意，
故选：．
利用平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，不妨设，，
则，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项符合题意；
C.，
，故本选项不符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质、不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：已知：如右图，四边形是矩形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形是矩形，即，
；故选B．
此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
，
解得：，
整数的值是，．
故选：．
点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．列出式子后可得到相应的整数解．
本题考查了点的坐标和一元一次不等式组的整数解．坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
 

8.【答案】 

【解析】解：设至多打折，
由题意得，，
解得：．
答：至多打折．
故选：．
设至多打折，用标价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，，
，
又，
，
，
的面积；
如图，，
的面积；
综上所述，的面积为或，
故选：．
由勾股定理求出、的长，再分两种情况分别计算即可．
本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．
 

10.【答案】 

【解析】解：不等式组的解为，
，
故选：．
根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
是的中垂线，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，即，解得，
，
故选：．
利用勾股定理求出，由线段垂直平分得，证明≌，由全等得，从而得出证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故选：．
分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
根据算术平方根的定义即可求出结果．
此题考查了算术平方根的概念：如果一个正数的平方等于，那么这个数是的算术平方根，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
在中，，，
则，
故．
故答案为：．
根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
在中，．

故答案为：
根据已知可得，利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
 

16.【答案】 

【解析】解：不等式组，
解得：，
不等式组恰有一个整数解，即，
．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，由不等式组恰有一个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，，，
则，
．
故答案为：．
根据题意求出，，，，根据规律解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“”
 

18.【答案】解：




． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
将该不等式的解集在数轴上表示如下：
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集是：． 

【解析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项，然后把的系数化为得到不等式的解集，再用数轴表示解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
 

20.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得，，
，
的立方根是． 

【解析】先根据平方根，立方根的定义列出关于、的二元一次方程组，再代入进行计算求出的值，然后根据立方根的定义求解．
本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出、的值是解题的关键．
 

21.【答案】证明：、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元，
依题意，得：，
解得：，
答：甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元；
设购进甲种洗手液瓶，则购进乙种洗手液瓶，
依题意，得：，
解得：，
为整数，
至少为，
答：至少购买甲种洗衣液瓶． 

【解析】设甲种洗手液每瓶元，乙种洗手液每瓶元，由题意：购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元；购买瓶甲种洗手液和瓶乙种洗手液共需元．列出方程组，解方程组即可；
设购进甲种洗手液瓶，则购进乙种洗手液瓶，由题意：总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出不等关系，列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：设，
由题意可得出：，
，
在中，，
，
解得：，
答：秋千的长为． 

【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设，在中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
 

24.【答案】
证明：，分别是与它的邻补角的平分线，
，．
，
．
，为垂足，，为垂足，
，
四边形为矩形；

四边形为矩形，
，
，
，

，
∽，
是的中点，
为的中位线，
． 

【解析】由、是角平分线可得是，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形是矩形；
由矩形的性质可得进而利用角平分线的性质可得，可得，进而可得∽，那么．
综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．
 

25.【答案】证明：在正方形中，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；

由知，≌，
，
，
，
，
，
对顶角相等，
，
即；

在菱形中，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，

对顶角相等，
，
即，
是等边三角形，
，
． 

【解析】先证出≌，得，由于，得；
由≌，得，进而得，由，得到，，最后得到结论；
借助和的证明方法容易证明结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出是解题的关键．