2021-2022学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（Word解析版）

2021-2022学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的计算结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出个球，下列事件是必然事件的是(    )

A. 个球都是黑球 B. 个球都是白球 C. 个球中有黑球 D. 个球中有白球

4. 如图所小的几何体足由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，，，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知反比例函数为常数的图象上有三点，，，若，则的取值范围是(    )

A.  B. 或
C.  D.

8. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，两点，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若，则______．
12. 在一次环保知识竞赛中，某班名学生成绩如下表所示：

这些学生成绩的中位数是______．

13. 一艘轮船以千米时的速度向正东方向航行，到达点时测得小岛在点北偏东方向；继续航行一小时到达点，这时测得小岛在点的东北方向；再继续航行______小时，轮船刚好到达小岛的正南方向．
14. 如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿直线折叠，点落在点处，若恰好与垂直，则______．

15. 抛物线为常数过两点，，对称轴为直线下列四个结论：
    ；
    ；
    若，点，在抛物线上，当时，则；
    方程有一个根在和之间．
    其中正确的结论是______填写序号
16. 将图中的矩形和正方形纸片沿图中的虚线剪成块，再用这块拼接成如图所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在中，，，，求长，

19. 本小题分
    为了加强学生安全教育，我校举行了一次“安全知识竞赛”，共有名学生参加．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩得分取正整数，满分为分进行统计．请你根据下面的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
    
    频数分布表中______，______，并请补全频数分布直方图；
    若成绩在分以上不含分为优秀，则该校成绩达到优秀的学生有______人；
    若该校并列第一名有名男生、一名女生，从中随机选取名参加市级比赛，则恰好是一男一女的概率是______请直接写答案．
    频数分布表

20. 本小题分
    如图，点是正方形边上一点点不与、重合，连接交对角线于点的外接圆交边于点，连接、．
    求的度数．
    若，求．

21. 本小题分
    如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
    在图中，将边绕点顺时针旋转得到线段；
    在边上找一点，使；
    在图中，在上画点，连接，使．
    在图中，在边上找一点，使得的面积是面积的；
     

22. 本小题分
    某商店销售进价为元件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：

设销售商品的每天利润为元．
求出与的函数关系式；
问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
现该商店决定每销售件该商品就捐赠元给贫困地区，在销售的前天内该商店当日最大利润为元，直接写出的值______．

23. 本小题分
    如图，菱形和等腰中，，，点在边上，交于点．
    求证：∽；
    连接，，，求的值；
    延长交于点，角，，直接写出的值______．

24. 本小题分
    平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在点的左侧，交轴于点，直线：与抛物线交于点．
    若，直线过点．
    连接，，求的面积；
    抛物线上两点，，点在点的左侧，且都在直线上方，直线于点，直线于点，当四边形是正方形时，求点的横坐标；
    已知点，连接，，直线交，分别于点，，且直线与抛物线只有一个公共点，若此时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选A因为求的是算术平方根，故只有对，不对．
利用平方根的意义化简．
此题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数的算术平方根有一个，而平方根有两个．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出个球，
A、个球都是黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、个球都是白球，是不可能事件，故本选项不符合题意；
C、个球中有黑球，是必然事件，故本选项符合题意；
D、个球中有白球，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层右边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
，，，．
故选：．
先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，
画树状图如图：
共有个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有个，
分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；
故选：．
可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，函数图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，
，，
在第四象限，在第二象限，
，，
当时，则，
当时，则，
故的取值范围为或，
当时，函数图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
，，
在第三象限，在第一象限，
，，
当时，则，
当时，则，
故的取值范围为且，
故符合题意的选项为，
故选：．
根据反比例函数的性质即可求得．
考查反比例函数图象上的点的特点；，在同一象限内，随的增大而增大，，在同一象限内，随的增大而减小．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从到时，用，
，
中，，
是菱形，
，，
中，
，
解得，
故选：．
通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、，

，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．
本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过，两点，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，


，
故答案为：．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据共个，按从小到大排列此数据，第、位为和．
所以本题这组数据的中位数是．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得，千米，，，
过点作交的延长线于点，
，，
，，
设千米，则千米，
在中，
，
，
即，
解得千米，
即千米，
需要的时间为：时，
答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛的正南方向．
根据题意画出相应的图形，利用直角三角形的边角关系列方程求出、，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，是斜边上的中线，
，
设为；
由翻折变换的性质得：；
，
，
即，
．
，
．
如图，首先证明设为；其次证明；运用直角三角形的两锐角互余，列出关于的方程，求出即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握翻折变换的性质等几何知识点，并能灵活运用、解题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线为常数过两点，
，，
，
，
，
，
，故正确；
关于对称轴的对称点为，
，故正确；
若，则，
抛物线为常数过两点，
抛物线开口向下，
若时，，
，，则，故正确；
由题意可知，抛物线与轴的一个交点横坐标在和之间，
当抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在和之间，即抛物线与轴交点横坐标在和之间，
方程有一个根在和之间，故正确；
故答案为．
根据图象上点的坐标特征得到，于是可对进行判断；利用抛物线的对称性，可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断；根据题意抛物线与轴的一个交点横坐标在和之间，即可得到抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在和之间，于是可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设，则，，

，，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
整理得，，
，
，
，
．
故答案为：
如图，设，则，，首先证明，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：

；
．


． 

【解析】先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可；
代入相应的特殊角的三角函数值，再进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
，
在中，，
，
设，，
，
，
或舍去，
，
，
长为． 

【解析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】      

【解析】解：抽取的样本容量是：，
，
则，
补全图形如下：

故答案为：、；

根据题意得：
人，
答：该校成绩达到优秀的学生有人；
故答案为：；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，恰好是一男一女的有种情况，
所以恰好是一男一女的概率是；
故答案为：．
由的频数及其所占频率可得样本容量，根据频数之和等于总人数求出，再利用频率的概念可得的值；
用该校的总人数乘以成绩在分以上不含分为优秀的人数所占的百分比即可；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好是男女所占的结果数，然后根据概率公式求解．
本题主要考查了条形统计图及频数分布表以及求随机事件的概率，解题的关键是能从频数分布表得出相关数据．
 

20.【答案】解：四边形是正方形，
，
，
；
延长至点，使，连接，

，
，
四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，，，
，
，
又，
≌，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质得出，由圆周角定理可得出答案；
延长至点，使，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，线段即为所求；

如图所示，点即为所求．
如图所示，点即为所求．

如图所示，点即为所求．
 

【解析】将线段绕点顺时针旋转得到线段即可，则为所求线段；取格点，连接交于点，则点为所求的点；
取格点，，连接交于点，连接，则；
由图可知：：，取格点，，连接交于点，则，点即为所求．
本题考查作图应用与设计，平行线的性质，旋转的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：当时，；
当时，
，
综上所述：；
当时，
，
．
，
二次函数开口下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元；
根据题意得，，
函数的对称轴，
当时，对称轴，
当时，，

解得或舍去，
；
当时，对称轴，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，，
，
解得：舍去．
综上所述，．
故答案为：．
根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；
根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．
本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：，
设，则，
，，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
；
解：在上取点，使，作于，

则，
设，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质和三角形内角和定理可得，，从而证明结论；
设，则，首先证明∽，得，则，再根据∽，得，可得答案；
在上取点，使，作于，设，利用含角的直角三角形的性质得，，再说明∽，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
或，
，，
令，则，
，
，在直线上，
，
解得，
，
在上，
，
，
，
直线与轴的交点为，
；
直线，
设直线的解析式为，
、在直线的上方，
，
设，，
联立方程组，
整理得，
，，
，
，
设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，过点作直线交于点，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
解得或，
，
，
直线的解析式为，
，
解得或，
；
联立方程组，
整理得，
直线与抛物线只有一个公共点，
，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
点的横坐标为，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
点的横坐标为，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
、关于轴对称，
，
，，
，
，
，
，
，





，
，
，
． 

【解析】求出直线的解析式和二次函数的解析式，再求的面积即可；
设直线的解析式为，设，，联立方程组，由根与系数的关系求出，设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，过点作直线交于点，则，可得，再由，即，求出的值，即可求点坐标；
联立方程组，整理得，由可得，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后求出点的横坐标为，点的横坐标为，过点作轴交于点，过点作轴交于点，由对称性可知，则，，，再由，可得，即可求的值．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，待定系数法求函数的解析式方法，直角三角形的性质是解题的关键．