高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件当堂检测题

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件

选题明细表

基础巩固

1.“x为无理数”是“x2为无理数”的　　　   　条件. 

解析:若x=是无理数,但x2=2是有理数,反过来, x2是无理数, x一定是无理数,故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件.

答案:必要不充分

2.若实数x,y∈R,则“x>0,y>0”是“x+y>0”的　　　　条件. 

解析:x>0,y>0⇒x+y>0;x+y>0x>0且y>0,所以“x>0,y>0”是“x+y>0”的充分不必要条件.

答案:充分不必要

3.设x为实数,α:x=-1或x=2,β:x≤0,则α是β的　　　　条件.

解析:设A={x|x=-1或x=2},B={x|x≤0},则A⊆B不成立,且B⊆A不成立,所以α是β的既不充分也不必要条件.

4.集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可)

解析:若A是B的充分不必要条件,则b>0,且<2,所以b>.

答案:b>

5.设p:x>4,如果p是q的充分不必要条件,那么请写出满足要求的一个条件q:　　　　　. 

解析:根据题意写出一个比x>4范围大的不等式,如x>0.

答案:x>0(答案不唯一)

6.设p:{x|2≤x<5},q:{x|x<2m},若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　              .

解析:由题意得{x|2≤x<5}⫋{x|x<2m},则2m≥5,即m≥.

答案:{m|m≥}

能力提升

7.(多选题)已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|x<m+1},则A∩B=的一个充分不必要条件是(　BD　)

A.m≤-2 B.m<-2

C.m<2  D.-4<m<-3

解析:设A∩B=的一个充分不必要条件是p,p对应的集合为C,

当A∩B=时,m+1≤-1,

解得m≤-2,所以C⫋(-∞,-2].

因此满足条件的选项为B,D.

故选BD.

8.(多选题)下列说法中正确的是(　ABC　)

A.“A∩B=B”是“B=”的必要不充分条件

B.“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”

C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”

D.“|x|=1”是“x=1”的充分条件

解析:A选项,若A∩B=B,则B⊆A,但此时B不一定是,即充分性不

成立,

当B=时,A∩B=B成立,即必要性成立,即“A∩B=B”是“B=”的必要不充分条件,故A正确;

B选项,由x2-2x-3=0,得x=3或x=-1,即“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,故B正确;

C选项,m是实数,则m不一定是有理数,反之,若m是有理数,则m一定是实数,即“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”,故C

正确;

D选项,当x=-1时,满足|x|=1,但x=1不一定成立,即“|x|=1”是“x=1”的充分条件错误,故D错误,

故选ABC.

9.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则“x∈C”是“x∈A”的　　　   　条件. 

解析:因为A∪B=C,且B不是A的子集,所以若x∈A,则x∈C,但x∈C,

x∉A.所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件.

答案:必要不充分

10.设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.

(1)若B中有且只有一个元素,求实数m的值;

(2)若x∈B是x∈A的充分条件,求实数m的值.

解:(1)因为x2+(m+1)x+m=0⇒(x+1)(x+m)=0,

解得x=-1或x=-m,

又B中只有一个元素,所以m=1.

(2)由x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,

若x∈B是x∈A的充分条件,则B⊆A,

x2+(m+1)x+m=0⇒(x+1)(x+m)=0,

解得x=-1或x=-m,

当m=1时,B={-1},满足B⊆A,

当m=2时,B={-1,-2},满足B⊆A,

所以m=1或m=2.

11.充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有关.数学上的判定定理实际上给出了一个充分条件,而性质定理则是给出了一个必要条件.

说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件.

(1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数;

(2)菱形的对角线互相垂直;

(3)如果一个函数是正比例函数,则这个函数是一次函数.

解:(1)这可以看成一个判定定理,因此“形如y=ax2(a是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件.

(2)这可以看成菱形的一个性质定理,因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件.

(3)这可以看成是一次函数的判定定理,因此“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件.

应用创新

12.(2021·四川绵阳期末)“关于x的方程ax2-2x+1=0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是(　A　)

A.a<-1 B.a≤1

C.a>1  D.a∈R

解析:因为关于x的方程ax2-2x+1=0至少有一个负数根,

所以或

解得a<0.

所以“关于x的方程ax2-2x+1=0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是a<-1.

故选A.