必修 第一册3.3 幂函数课堂检测

3.3　幂函数

选题明细表

基础巩固

1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α等于(　C　)

A.     B.1   C.    D.2

解析:由幂函数的定义,知

所以k=1,α=,所以k+α=.故选C.

2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　)

解析:y=的图象位于第一象限,且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.故选B.

3.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　D　)

A.0 B.1 C.1或2  D.2

解析:因为函数f(x)是幂函数,

所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调

递增,

所以2m-1>0,即m>,故m=2.故选D.

4.(多选题)下列命题中是真命题的有(　BD　)

A.幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)

B.幂函数的图象不可能过第四象限

C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数

D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小

解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0,0),所以A不正确;根据幂函数的定义,当x>0时,y不可能小于0,因此幂函数的图象不可能过第四象限,所以B正确;如幂函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,所以C不正确;根据幂函数的图象与性质,可得当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内单调递减,所以D是正确的.故选BD.

5.幂函数f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则m等于　　　　. 

解析:因为f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,所以m-2<0,故m<2.

又因为m∈N,所以m=0或m=1,

当m=0时,f(x)=x-2,f(-x)=f(x),符合题意;

当m=1时,f(x)=x-1,f(-x)≠f(x),不符合题意.

综上知,m=0.

答案:0

6.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数f(x)=　　　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:设幂函数f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得到α=,于是f(x)==.若f(2-a)>f(a-1),则>,所以解得 1≤a<.

答案:　[1,)

能力提升

7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　B　)

A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1

解析:由幂函数的图象特征可知n<-1,0<m<1.故选B.

8.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)

(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论正确的是(　BC　)

A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x1)<x2f(x2)

C.>       D.<

解析:因为f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又它的图象经过点(,),可由=()α得出α=,所以f(x)=.设g(x)=xf(x)=x=,它在[0,+∞)上为增函数,若0≤x1<x2,则有g(x1)<g(x2),故A,B中只能选择B.设h(x)===,它在(0,+∞)上为减函数,若0<x1<x2,则有h(x1)>h(x2),故C,D中只能选择C.故选BC.

9.已知幂函数f(x)的图象为曲线C.有下列四个性质:

①f(x)为偶函数;

②曲线C不过原点O;

③曲线C在第一象限呈上升趋势;

④当x≥1时,f(x)≥1.

写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数　　　　. 

解析:常见的幂函数有y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=,

y=x2满足性质①③④.

答案:f(x)=x2(答案不唯一)

10.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.问当x为何值时:

(1)f(x)>g(x);

(2)f(x)=g(x);

(3)f(x)<g(x).

解:设f(x)=xα,由题意得,()α=2⇒α=2,

所以f(x)=x2.同理可得g(x)=x-2.

在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的大致图象,如图.

由图象可知.

(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).

(2)当x=±1时,f(x)=g(x).

(3)当-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x).

11.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递减.

(1)求m的值;

(2)试判断是否存在a>0,使得函数g(x)=(2a-1)x-+1在(0,2]上的值域为(1,11]?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由题意知,解得m=3.

(2)由(1)可得f(x)=x-1,

所以g(x)=(2a-1)x-ax+1=(a-1)x+1,

假设存在a>0,使得g(x)在(0,2]上的值域为(1,11].

①当0<a<1时,a-1<0,此时g(x)在(0,2]上单调递减,不符合题意;

②当a=1时,g(x)=1,显然不成立;

③当a>1时,a-1>0,g(x)在(0,2]上单调递增,

故g(2)=2(a-1)+1=11,解得a=6.

综上所述,存在a=6使得g(x)在(0,2]上的值域为(1,11].

应用创新

12.已知f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　A　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0   D.无法判断

解析:由题意知,m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,

又对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,

满足>0,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

当m=-1时,

4m9-m5-1=-4+1-1=-4<0,不合题意,

当m=2时,

4m9-m5-1=4×29-25-1=2 015>0,满足题意,

所以f(x)=x2 015,f(x)是奇函数,

所以f(x)在R上是增函数.

a+b>0,ab<0,

不妨设a>0,b<0,则a>-b>0,

所以f(a)>f(-b),即f(a)>-f(b),

所以f(a)+f(b)>0.故选A.