2020年安徽省普通高中学业水平考试数学试题含解析

2020年安徽省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知集合则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接利用交集的定义计算即得解.

【详解】

集合则.

故选：D

【点睛】

本题主要考查交集的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

2．主视图为矩形的几何体是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据几何体的特征，由主视图的定义，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，圆柱的主视图为矩形，故A正确；

B选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故B错；

C选项，棱锥的主视图为三角形，故C错；

D选项，球的主视图为圆，故D错.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查简单几何体的正视图，属于基础题型.

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用三角函数的诱导公式即可得到答案.

【详解】

.

故选：D

【点睛】

本题主要考查三角函数的诱导公式，属于简单题.

4．函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】图像上升区间对应着函数的单调递增区间.

【详解】

解：图像上升区间对应着函数的单调递增区间，

故选：B.

【点睛】

考查根据函数的图像写出递增区间，基础题.

5．直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据直线方程即可得到直线的斜率.

【详解】

直线的斜率.

故选：B

【点睛】

本题主要考查根据直线方程的一般式求斜率，属于简单题.

6．某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的身高情况，用分层抽样的方法从高二年级学生中抽取45人，则应抽取男生、女生的人数分别是（    ）

A．20、25 B．25、20 C．15、30 D．30、15

【答案】B

【解析】先求出抽样比，再计算即可.

【详解】

抽样比例为，

则应抽取男生人，抽取女生人.

故选：B.

【点睛】

本题考查分层抽样的计算，属于基础题.

7．下列函数中是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据奇函数的定义逐项判断可得正确的选项.

【详解】

对于A，取，则，故不是奇函数.

对于B，取，则，对应的函数值不是相反数，故不是奇函数

对于C，令，则其定义域为，且，

故为奇函数.

对于D，取，则，故不是奇函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查奇函数的判断，可根据定义来判断，本题属于基础题.

8．已知向量与平行，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量共线的坐标形式可求的值.

【详解】

因为，故，故，

故选：A.

【点睛】

本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果、平行，则，本题属于容易题.

9．如图，在正方体的六个面中，与底面垂直的面有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】根据正方体的结构特征，可直接得出结果.

【详解】

因为正方体中，侧棱都和底面垂直，因此侧面都垂直于底面；

故在正方体的六个面中，与底面垂直的面有个，分别为四个侧面.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正方体的结构特征，属于基础题型.

10．在等差数列中，，，则（    ）

A．2 B．5 C．9 D．11

【答案】C

【解析】由等差数列的性质可得，可得答案.

【详解】

在等差数列中，也成等差数列.

所以，

即 ，

则.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，观察出下标的关系是关键，属于容易题.

11．已知是第二象限角，且，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可求出，再由二倍角公式可求出.

【详解】

是第二象限角，且，

，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角公式的应用，属于基础题.

12．在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中，任取三条，这三条线段能构成三角形的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先利用列举法列出全部基本事件，找到符合三角形的基本事件，再利用古典概型公式即可得到答案.

【详解】

从四条线段中任意取三条，共有：，，，

，四种情况，

三条线段能构成三角形共有：一种情况，

故能构成三角形的概率为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查古典概型，考查学生分析问题的能力，属于简单题.

13．不等式组表示的平面区域是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用不等式表示的几何意义可得正确的选项.

【详解】

表示直线及其 下方，表示轴和的右侧，

故选：D.

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的几何意义，考查学生数形结合的核心素养，本题属于基础题.

14．如图，菱形的对角线和相交于点，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用菱形的性质和平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】

因为四边形为菱形，对角线和相交于点，

所以，，，故A，B，D正确.

而，不一定相等，故C错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的定义，属于简单题.

15．某小区12户居民5月份的用电量（单位：千瓦时）如茎叶图所示，则这组数据的中位数为（    ）

A．40 B．41 C．42 D．45

【答案】B

【解析】根据茎叶图计算中位数即可.

【详解】

由图知：中位数为.

故选：B

【点睛】

本题主要考查根据茎叶图求数据的中位数，属于简单题.

16．如图，某班同学为测量河两岸输电塔架底部间的距离，在与塔架同岸选取一点，测得米，，则两塔架底部之间的距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【解析】先利用三角形内角和求出，在利用正弦定理求得即可.

【详解】

中，，故，

根据正弦定理得，代入数据，

解得米.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的正弦定理，属于基础题.

17．已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由零点确定参数再解不等式即可.

【详解】

解：，所以，

故选：A .

【点睛】

考查函数零点的应用以及解一元二次不等式，基础题.

18．已知函数对任意，都有(为常数)，当时，则，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】B

【解析】由题设可得函数的周期为4，从而可得，再根据已知的解析式可求的值.

【详解】

因为，故，

所以，所以，故，

所以函数的周期为4，故，

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的周期性以及函数值的计算，一般地，如果，那么函数为周期函数且一个周期为，本题属于基础题.

二、填空题

19．在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为____________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.

【答案】随机.

【解析】任意取一球是随机事件.

【详解】

解：由于是任意取一球，所以是随机事件，

故答案为：随机.

【点睛】

考查随机事件的判断，基础题.

20．执行下边程序框图，若输入，则输出的_____________.

【答案】

【解析】根据程序框图，逐步计算，即可得出结果.

【详解】

执行框图如下，

输入，执行，输出.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由条件结构框图求输出值，属于基础题型.

21．已知，则的最大值是__________.

【答案】4.

【解析】对不等式进行配凑，应用均值不等式进行处理.

【详解】

解：因为，故，

则，

当且仅当，即时，取得最大值4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查均值不等式的应用，需要注意取等号的条件是否满足，基础题.

22．某地一天0~24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是____________℃.

【答案】14

【解析】根据，可知，由三角函数的性质即可求出.

【详解】

，，

当，即时，.

故答案为：14.

【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，考查正弦型函数最值的求法，属于基础题.

三、解答题

23．已知点（）在圆C：上.

（1）求P点的坐标；

（2）求过P点的圆C的切线方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将点P代入圆的方程即得参数a的值；

（2）先根据圆的切线的性质求得切线的斜率，再利用点斜式写切线方程即可.

【详解】

解：(1) P点在圆上，将代入圆的得，

解得，因为，；

(2) ，，，垂直切线，切线斜率，

故切线方程为：，即.

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系的应用和圆的切线的求法，属于基础题.

24．如图，在三棱锥中，，，分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）由即可证明；

（2）证明和即可.

【详解】

（1）中，分别是的中点，

,

平面，平面，

平面；

（2），N是BD中点，，

，，

，平面.

【点睛】

本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.

25．已知函数的图象过点，.

（1）求函数的解析式；

（2）记是正整数，是数列的前n项和，解关于n的不等式；

（3）对（2）中的数列，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）将点代入可求关于的方程组，解方程组后可得函数的解析式.

（2）求出的通项公式，利用公式可求，从而可得，故可求不等式的解.

（3）利用错位相减法可求.

【详解】

（1）由题设可以得到，解得，故.

（2），故，

所以即为，解得.

（3）,

所以，

所以，

所以

，

故.

【点睛】

本题考查函数解析的求法、等差数列的通项以及前项和，还考查不等式的求法与错位相减法求和，本题为中档题.