2021-2022学年安徽省芜湖市市区八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省芜湖市市区八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子中，一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的最大角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点在平行四边形的对角线上，设，，则与之间的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 如图，平行四边形中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，点为的中点，是上的一点，且若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，分别以的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是(    )

A.
B. 以，，为三边的三角形是直角三角形
C.
D. 四边形的面积与的面积相等

10. 在面积为的平行四边形中，分别过点作直线的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为若，，则的值为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 计算：______．
12. 如图，已知中，，，于，为上任一点，则______．

13. 如图，在▱中，，，分别在，的延长线上，，，，则的长为______．

14. 如图，在中，，，．
    边的长为______；
    如图所示，点为边的中点，点在边上，连结，将沿折叠得到连结，当时，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：．
16. 本小题分
    已知，若整数满足试求的值．
17. 本小题分
    已知平行四边形中，比小，求的度数．

18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别是，，．
    在图中作出关于轴对称的；
    ______；
    在第一象限内作出一点，使，且同时．

19. 本小题分
    如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点．
    若，求的度数；
    求证：．

20. 本小题分
    【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
    如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
    除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质．
    如：对于，设．
    由，可知．
    由，解得．
    即．
    【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简．
21. 本小题分
    如图，在的边的同侧分别作等边，等边和等边．
    证明：≌；
    证明：四边形是平行四边形；
    若，，，则的度数为______直接填空

22. 本小题分
    如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向，朝着点运动．设点的运动时间为秒．
    在运动过程中，当取何值时，点恰好在的角平分线上；
    在运动过程中，当取何值时，是等腰三角形．

23. 本小题分
    如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点．
    求证：；
    若，解答下列问题：
    求证：；
    当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，它无意义，故本选项不符合题意；
B、当时，它无意义，故本选项不符合题意；
C、当时，它无意义，故本选项不符合题意．
D、是二次根式，故本选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：．
根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项错误；
B.原式，所以选项错误；
C.原式，所以选项错误；
D.原式，所以选项正确．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．根据题意画出图形，根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图所示：过点作轴于点，

则，，
故．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：三角形的三边分别为，，，
，
该三角形是直角三角形，
这个三角形的最大角的度数为，
故选：．
如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断，即可得到这个三角形的最大角的度数．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
故选：．
过点作于，过点作于，证≌，得出，再由三角形的面积公式即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明≌是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：若，则无法判断，故A选项符合题意；
如图，连接，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的性质或全等三角形的性质进行逐一判断即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长至，使，连接，

，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：．
延长至，使，连接，证出是的中位线，得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明是的中位线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设的边，，，其中，
则，，，．
，，为等腰直角三角形，
，，
，
，
．
选项正确；
，，，
，，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
选项正确；
，
，
．
选项错误；
四边形的面积




，
，
四边形的面积与的面积相等．
选项正确．
综上，结论不成立的是：．
故选：．
设的边，，，其中，则，，，利用等腰直角三角形的性质可得，，；利用勾股定理通过计算对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用拼接前后的图形全等不变性解答是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
如图，为锐角时，
在中，，
在中，，
；
如图，为钝角时，
同得：，，
；
综上所述，的值为或，
故选：．
根据平行四边形面积求出和，再求出、的值，然后分两种情况，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，注意分类讨论．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在和中，
，，
在和中，
，，


．
故答案为：．
在及中可分别表示出及，在及中分别将及的表示形式代入表示出和，然后作差即可得出结果．
本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出和是本题的难点．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，即为中点，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形性质推出，，得出平行四边形，推出，求出的长，进而根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理的运用，解题的关键是求出的长．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图中，过点作于．

在中，，
在中，．
故答案为：．
如图，设与交于点，

，沿将折叠得到，
，垂直平分，
，，
，
，
，
点为线段的中点，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图中，过点作于解直角三角形求出，再求即可；
设与交于点，由折叠的性质和三角形内角和定理可知，则，则，运用勾股定理求出，即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练会解直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键．
 

16.【答案】解：由题意得：，
，
整数满足，
，
，
，
是整数，
，
故的值为． 

【解析】先根据，由，可知，被开方数是非负数列不等式组可得的取值，又根据，表示的值代入不等式的解集中可得结论．
本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示的值是本题的关键．
 

17.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
． 

【解析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
，，，
，
．
故答案为：；
如图，点即为所求．

利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用勾股定理的逆定理证明即可；
利用数形结合的思想画出点即可．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
又平分，平分，
，
，
又，
；
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，即，
． 

【解析】根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数；
根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明．
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
 

20.【答案】解：设，
，
．
，
．
原式

． 

【解析】利用题干材料的方法解答即可．
本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质与化简，实数大小的比较，乘法公式，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中方法是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；

解：≌，
，
是等边三角形，
，
，
同理：，
四边形是平行四边形；

，，，
，
是直角三角形，，
、是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
由等边三角形的性质得出，，，，求出，即可证≌；
根据全等三角形的性质得，同理得出，即可得出结论；
根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据周角的定义得，根据平行四边形的对角相等即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

22.【答案】当点在的角平分线上时，过点作，如图：

平分，，，
，
当点在上时，点运动的长度为，
则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段上，
当点在线段上时，若，

则点运动的长度为，
，
，
；
若，如图，过点作于点，则，

在中，，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
点运动的长度为：，
，
；
若，如图所示，过点作于点，

则，，
，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
点运动的长度为，
，
，
．
综上，的值为或或． 

【解析】根据≌，利用勾股定理解答即可；
当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，当点在线段上时，分三种情况：；；，分别求得点运动的路程，再除以速度即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌
，
，
；
证明：过作于，交于，过作于，
则，
，
，
，
，，
，
，又，
，
设，则，，
，
；
解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在等腰中，，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
过作于，交于，过作于，根据三角形的外角性质得到，则可得出结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据中结论即可得届答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．