第13讲 特殊二次函数的图像（2）- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识一、二次函数y=ax2+c的图像
二次函数的图像
（1）抛物线的对称轴是轴，顶点（0，c）；
（2）时，抛物线+c开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点.
（3）时，抛物线+c开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点.
（4）+c与的图像形状相同，只是位置不同，他们彼此可以通过平移得到.
（5）把的图像向上或向下平移个单位，即得到+c的图像.
题型探究
【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像，并将图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．



【例2】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、
对称轴和顶点坐标．
（1）；（2）．



【例3】抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同
【例4】将抛物线的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是
_____________．
【例5】如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中
的图像大致是（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A．
B．
C．
D．

【例6】若函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b的值．


举一反三
1.（上海宝山区·九年级期末）抛物线的开口方向（ ）
A．向上；B．向下；C．向左；D．向右；
2.（2021·陕西九年级其他模拟）抛物线的顶点坐标为______．
3.（2021·上海）如果二次函数的图像上有两点和，那么_____（填“”、“”或“”）
4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线是由抛物线向下平移2个单位得到的，则a=________，b=_______．
5.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）当m=______时抛物线开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．
6.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）形状与抛物线相同，顶点为(0，2)，对称轴为y轴的抛物线解析式是_____．
知识二、二次函数的图像
1.二次函数的图像的画法
列表、描点、连线
2.二次函数的图像
（1）抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是直线x = -m，顶点（-m，0）；
（2）时，抛物线开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点.
（3）时，抛物线开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点.
（4）与的图像形状相同，只是位置不同，他们彼此可以通过平移得到.
（5）把向左（时）或向右（时）平移个单位得到．
题型探究
【例7】-10
-8
-6
-4
-2
-5
-4
-3
-2
-1
10
5
4
3
2
1
8
6
4
2
y
O
x
画出二次函数y＝ EQ \F(1,2) x2,y＝ EQ \F(1,2) (x＋2)2，y＝ EQ \F(1,2) (x-2)2的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点．














知识点整理
对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状____相同_____，只是___位置______不同．
【例8】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）；（2）．





【例9】把抛物线向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下
平移2个单位，得到抛物线____________．
【例10】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数相同的抛物线是____________．
【例11】若抛物线的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线的形状相同，开口方向相反，则点（a，m）关于原点的对称点为______．

举一反三
1.（2020·上海九年级月考）在下列对抛物线的描述中，正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点在轴上
C．对称轴是直线D．与轴的交点是
2.（2020·上海市青浦区第一中学九年级期中）点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3.如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A．B．C．D．
4.已知抛物线y=-（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1＜x2＜-1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．．
5.已知抛物线的开口向上，那么a的取值范围是______．
6.将函数、与函数的图像进行比较，函数
、的图像有哪些特征？完成下表．
7.抛物线的图像可由抛物线向_______平移_______个单位得到，它的顶点坐标是_________，对称轴是____________.
8.（2021·上海九年级一模）如果抛物线（是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．
9.已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．






课堂总结
知识清单：
二次函数y=ax2+c的图像的画法与性质；
二次函数y=a（x+m）2的图像的画法与性质；
二次函数y=ax2、y=ax2+c、y=a（x+m）2的关系.
总结：y=ax2+c的图像与y=a（x+m）2图像是由抛物线y=ax2的图像平移而得到的.
抛物线y=ax2+c的图像是由y=ax2的图像沿着 y轴向上或向下平移|c|个单位而得到的.当 c>0 时，抛物线 y=ax2向上平移c个单位;当 c0 时，抛物线y=ax2向左平移m个单位;当 m”，“=”或“