第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系- 2022-2023学年九年级数学下册 精讲精练（沪教版）

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第16讲 圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2.点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；当点P在圆内时，．反之亦然．3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．4.三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．【例1】若A（a，）在以点B（，）为圆心，37为半径的圆上，求a的值．   【例2】在△中，，，，、分别是上的高和中线，如果圆是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（    ）A．点、均在圆内； B．点、均在圆外；C．点在圆内，点在圆外； D．点在圆外，点在圆内．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【例4】如图，作出所在圆的圆心，并补全整个圆．  【例5】如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系．【例6】如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系． 举一反三1．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（  ）A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．x轴上2．已知△ABC中，AB＝BC，若以点B为圆心，以AB为半径作圆，则点C在（　　）A．在⊙B上 B．在⊙B外 C．在⊙B内 D．不能确定3．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（  ）A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A内C．当时，点B在圆A外 D．当时，点B在圆A内4．下列命题中，错误的是（　　）A．三角形重心是三条中线交点 B．三角形外心到各顶点距离相等C．三角形内心到各边距离相等 D．等腰三角形重心、内心、外心重合5.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是_____．6．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆．试判断：点与的位置关系；点与的位置关系；(3)的中点与的位置关系．   1.相关概念弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2.半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A、C为端点的劣弧记作，读作“弧AC”；以A、C为端点的优弧记作，读作“弧ABC”．3.等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若与是等弧，记作．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（    ）A． B． C． D．（2）下列说法中，不正确的是（   ）A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧（3）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例8】一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°．【例9】如图，在中，，，则______．【例10】如图，已知的半径是6，，，CD =______．【例11】如图，和是等圆，P是的中点，过点P作直线AD交于点A、B，交于点C、D．求证：AB = CD．  【例12】已知，如图，AB、CD是的直径，弦AE // CD，联结CE、BC．求证：BC = CE． 【例13】如图，是的外接圆，AO平分，，判断的形状，并说明理由．   【例14】已知，如图，AB是直径，M、N分别是AO、BO的中点，，．求证：．  举一反三1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（    ）A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是_____．4．如图所示，是的两条直径，，求证：．5．如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE6．已知：如图，是的角平分线上的一点，与相交于，点，相交于，点，试确定线段与之间的大小关系，并证明你的结论．   课后作业1．下列说法正确的是（    ）A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等2．如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点O是△ABC外心的是（ ）A．B．C．D．3．在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）A．5 B．4 C．3 D．24．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．5．下列说法中，正确的个数共有（　　）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）A．当时，点在圆上 B．当时，点在圆内；C．当时，点在圆外 D．当时，点在圆内．7．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（　　）A．40° B．50° C．55° D．60°8．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（   ）A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．9．下列语句中正确的是（   ）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所在直线是圆的对称轴10．若⊙O所在平面内一点P到⊙O的最大距离为6，最小距离为2，则⊙O的半径为_____．11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________．12．如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．13．已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．15．如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．16．如图所示，已知矩形的边，．(1)以点为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何？(2)若以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是什么？   18．如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 19．已知如图，点A、点B、点C、点D都在⊙O上，连接OA、OB、OC、OD、AC、BD，∠A＝∠D． 求证：（1）AC=BD；（2） 20．如图，AB，AC，BC都是的弦，且，求证：. 21．已知：如图，在中，弦．求证：．   22．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝50°，求∠AOC的度数．