第07讲 平面向量的线性运算- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识一、实数与向量相乘
1.平面向量的相关概念
（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；
（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；
（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；
（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；
（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；
（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
2.平面向量的加减法则
（1）几个向量相加的多边形法则；
（2）向量减法的三角形法则；
（3）向量加法的平行四边形法则．
3.实数与向量相乘的运算
设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．
（1）如果，且，那么的长度；
的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向．
（2）如果k = 0或，那么．
4.实数与向量相乘的运算律
设m、n为实数，则
（1）；
（2）；
（3）．
5.平行向量定理
如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．
6.单位向量
单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．
由实数与向量的乘积可知：，．
题型探究
题型一、向量的相关概念与平面向量定理
【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．；B．；
C．，；D．，．
（2）（2021·上海九年级一模）已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
（3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
（4）（2019·上海）下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
题型二、作图题
【例2】已知非零向量，求作，．

题型三、向量的表示与相等向量
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．
A
B
C
D
E
F
G
H
O

题型四、向量的运算
【例4】填空：
；；
；；
；．
【例5】计算：
（1）；
（2）；
（3）．

【例6】设、是已知向量，解关于向量的方程．

【例7】用单位向量表示下列向量：
（1）与方向相同，且长度为9；
（2）与方向相反，且长度为5；
（3）与方向相反，且长度为．

题型五、向量的证明
【例8】已知向量、满足，求证：向量和平行．






【例9】已知，，其中，那么向量与是否平行？



举一反三
1.下列说法中，正确的是（）
A．一个向量与零相乘，乘积为零
B．向量不能与无理数相乘
C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
2．（2021·上海九年级专题练习）已知和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）与的长度与方向的关系是（ ）
A．长度相等，方向相同B．长度相等，方向相反
C．长度不等，方向相同D．长度不等，方向相反
5.（2020·上海九年级专题练习）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（ ）
A．B．C．D．
6.（2021·上海九年级一模）已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7.如图，已知，求作（提示：利用三角形的重心）．
8.如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE//BC，AD = 4，BD = 7，试用向量表示向量．

9.计算：；
；
．
10.在四边形ABCD中，，，．
求证：四边形ABCD为梯形．



知识二、向量的线性运算
1.向量的线性运算
如果、是两个不平行的向量，x、y是实数，那么叫做、的线性组合.
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．
如、、、等，都是向量的线性运算．
2.向量的合成与分解
如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．
题型探究
题型一、作图题
【例10】已知两个不平行的向量、.求作∶.



【例11】已知两个不平行的向量、.求作∶

题型二、向量的线性组合
【例12】(1)（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．

（2020·上海九年级一模）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，.试用、的式子表示向量.
题型三、向量的分解
【例13】如图，已知向量、和、，求作：
（1）向量分别在、方向上的分向量；
（2）向量分别在、方向上的分向量．

举一反三
1．（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）








2．（2021·上海九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用、表示；
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）






课后作业
1.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与是相等向量的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么A与B重合B．若，则B是OA的中点
C．若，则 若D．B是OA的中点则
3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（ ）
A．；B．∥；C．与方向相反；D．．
5.（2020·上海九年级一模）已知，和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（ ）
A．//，//B．C．D．
6．（2020·上海九年级专题练习）若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（ ）
A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝
7．（2021·上海中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·上海九年级二模）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·上海九年级一模）已知点是线段的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．（2021·上海）以下说法错误的是（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．如果（为非零向量），那么；
D．如果不是与非零向量同方向的单位向量，那么．
11．（2021·上海九年级一模）已知是非零向量，，下列说法中错误的是（ ）
A．与平行B．与互为相反向量
C．D．
12．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
13．（2021·上海九年级一模）计算：_________________．
14．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）化简：3＝_____．
15．（2021·上海九年级专题练习）已知向量与方向相反，长度为6，则_______
16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：
（1）________．
（2）_________．
（3）________．
17．（2021·上海九年级专题练习）已知向量满足关系式，那么可用向量表示向量＝_____．
18．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________．

19．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5，设．表示：．



20．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知、都是已知向量，、都是未知向量，且+，，求、．




21．（2021·上海九年级一模）如图，在中，平分，与交于点，，．
（1）求的值；
（2）设，=，求向量（用向量、表示）．







22．（2021·上海九年级一模）如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由；
（2）设，，写出向量关于的分解式．








23．（2021·上海九年级一模）如图，已知中，，且经过的重心点，，．
（1）试用向量、表示向量；
（2）求作向量（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．




24．（2021·上海）如图，在平行四边形中，对角线AC、BD相交于点O． E为OC的中点，连接BE并延长，交边CD于点F，设，．
（1）填空：向量__________；
（2）填空：向量__________，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本题结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）




25．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，点、分别在的边、的延长线上，且，，为的中点．
（1）设，，试用的形式表示；（、为实数）
（2）作出在、上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）