第12讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图像（1）- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识一、二次函数的概念
一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．
二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．
二次函数应注意的问题：
（1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等．
（2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数．
题型探究
题型一、二次函数的判断
【例1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c。
(1)； (2)；（3）；（4）；
(5)；(6)；（7）(8)。



题型二、根据二次函数求字母
【例2】是关于x的二次函数需要满足的条件是_____________．


题型三、函数值
【例3】已知二次函数．
（1）当时，求函数值；
（2）当取何值时，函数值为0？

题型四、列解析式
【例4】如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________．
【例5】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x ()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析．



【例6】用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域．



举一反三
1．（2021·全国九年级专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（ ）
A．a≠1B．a≠﹣1C．a＝1D．a＝±1
2．（2019·浙江九年级期中）下列各式中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
4.（1）已知二次函数，当时， .
（2）已知二次函数，当时， .
5.已知函数是常数）。
当为何值时，是的二次函数？
当为何值时，是的一次函数？
当为何值时，是的常值函数？



6.（2021·全国九年级专题练习）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．
7.（2020·全国九年级专题练习）已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为________．
8.（2020·四川）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为_____．（不要求写出自变量x的取值范围）


知识二、二次函数的图像
1.的图像
在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．
（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：
描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．
（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．
二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线．
归纳总结：
抛物线 y=x²的开口方向向上;它是轴对称图形，对称轴是 y轴，即直线x=0.
抛物线 y=x2与y轴的交点是原点O;除这个交点外，抛物线上的所有点都在 x 轴的上方，这个交点是抛物线的最低点.
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线 y=x²的顶点是原点 O（0，0）.
2.二次函数的图像
抛物线（其中a是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．抛物线的开口方向由 a 所取值的符号决定，当时，抛物线开口向上，顶点为抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为抛物线的最高点．
总结：（1）开口向上时；从左向右看，对称轴左侧部分图像下降（y随着x的增大而减小），对称轴右侧部分图像上升（y随着x增大而增大）.
（2）开口向下时；从左向右看，对称轴左侧部分图像上升（y随着x的增大而增大），对称轴右侧部分图像下降（y随着x增大而减小）.
题型探究
题型一、二次函数y=ax2的图像
【例7】在同一直角坐标系中.
（1）画出下列函数的图像;①②③④
( 2 )说出四个函数图像的区别与联系.

（2）四个函数的区别于联系如下表：

题型二、二次函数y=ax2的性质
【例8】说出下列函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）； （2）.


【例9】（1）抛物线除了点______以外，都位于______上方．

（2）抛物线与的形状相同，则a的值为______．

（3）已知点P（，6）在抛物线上，那么a的值为______．

（4）函数与的图像可能是（ ）

（5）已知二次函数的图像开口向下，求m的值．


（6）如图，四个二次函数图像，分别对应的是 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
y
O
x
④
③
②
（7）若把抛物线（）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．
举一反三
1.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列关于抛物线和的关系的说法中，错误的是（ ）
A．它们有共同的顶点和对称轴
B．它们都是关于y轴对称
C．它们的形状相同，开口方向相反
D．点A（-2，4）在这抛物线上，也在抛物线的图像上．
2.二次函数的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．
3.抛物线经过点A（3，n），则n = ______，且点A关于抛物线对称轴的对称点A1的坐标是______．
4.已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？



5.抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标．


6.已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由．





课堂总结
知识清单：
二次函数的定义；
二次函数y=ax2的图像的画法；
二次函数y=ax2的图像的性质.
总结：
（1）判断某个函数是否为二次函数时，需要从以下几个方面考虑：
1）二次函数是整式形式，根号、分母里不能含有未知数；
2）将解析式化简之后再进行判断；
3）对于二次项系数中含有字母的，一定要考虑到二次项系数不为0这一前提条件．
（2）对于实际应用问题，注意结合实际情况考虑自变量的取值范围．
（3）函数 y=ax²（a≠0）的图像与a的关系。
函数 y=ax²（a≠0）的图像的开口方向与a有关，开口大小与|a|有关.例如y=2x²与y=-2x²的形状一样，开口方向相反，也就是说;将抛物线y=2x²沿x轴翻折或绕其顶点（0，0）旋转180°得到抛物线y=-2x².|a|越大时，抛物线的开口方向越小.
（4）画二次函数 y= ax2的图像时应注意的问题。
（1）描点法所画的图像只是整个函数图像的一部分，是近似的，由于 x 可取一切实数，所以图像是向两方无限延伸的;（2）点选的越多，图像越精确（一般取五点）;（3）图像必须平滑，顶点不能画成尖形的.
课后作业
1.以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
2.（2021·全国九年级专题练习）若函数是二次函数，那么的值是（ ）
A．2B．-2或2C．-2D．0或2
3.（2021·江苏九年级专题练习）已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的顶点是原点B．抛物线的开口向下
C．抛物线的开口向上D．抛物线的顶点是抛物线的最低点
5.（2020·苏州市平江中学校九年级期中）二次函数的图象经过原点，则__________．
6.（2021·上海市实验学校九年级二模）已知，则___________
7.（2021·山东九年级期末）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为※=，根据这个法则，若※，则________（写成一般式）．
8.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）函数，二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是___．
9.若函数是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．
10．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的图像以x轴为对称轴翻折，翻折后它的函数解析式是_____．
11．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数的图像开口方向是______，对称轴是________，顶点坐标是_________．
12．（2019·江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学九年级月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为____________________．
13．（2021·西安高新一中实验中学九年级其他模拟）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则的大小关系为___________（用“”连接）．
14．（2021·上海九年级二模）如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．
15.已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的k的值；
（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？









16.如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x，花坛的面积为S平方米，求出S关于x的函数解析式及其定义域．
x
x
12
24

17.已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．




18.抛物线的顶点为原点，以y轴为对称轴，且经过点A（-2，8）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算的面积．

x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
2
3