第17讲垂径定理- 2022-2023学年九年级数学下册 精讲精练（沪教版）

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第17讲 垂径定理

知识梳理、垂径定理

1.垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2.相关结论
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．
题型探究

【例1】下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦； B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧； D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【答案】A
【解析】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【例2】如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的(　　)

A．M B．P C．Q D．R
【答案】C
【解析】
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选C．
【例3】往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，

∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝______．

【答案】
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【例5】（1）如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA、OB，那么∠AOB＝_____度．

【答案】120
【解析】
解：连接AC．

∵，
∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，
∵AB平分OC，
∴AB是线段OC的垂直平分线，
∴AO＝AC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°．
故答案为120．
（2）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．

【答案】120．
【解析】
解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为120．
【例6】已知：如图，圆O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，AB＝10，CD＝BC，tanD＝．求：

（1）线段BC的长；
（2）圆O的半径．
【答案】（1）BC＝12；（2）圆O的半径为．
【解析】
（1）过A作AE⊥BC于E，交⊙O于F，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∴AE过圆心O，
∵CD＝BC，
∴BE＝CE＝CD，
在Rt△AED中，
∵tanD＝＝＝，
∴＝，
设AE＝4x，BE＝3x，
在Rt△BE中，
∴AB＝＝5x，
∵AB＝10，
∴x＝2，BE＝6,
∴BC＝2BE＝2×6＝12；

（2）连接BF，由（1）得，AF是⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝4x，BE＝3x，AB＝5x，
∴cos∠BAE＝＝，
在Rt△BAF中，
∵cos∠BAE＝，
∴AF＝＝＝，
∴圆O的半径为．
【例7】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，连结OE、OC．

（1）求EF的长；
（2）求∠COE的正弦值．
【答案】（1）EF的长为6；（2）∠COE的正弦值为．
【解析】
解：（1）过点O作OG⊥EF于点G，

∴EG=FG，OG∥AC，
又O为AB的中点，
∴G为BC的中点，即OG为△ABC的中位线，
∴OG=AC=4，
在Rt△OEG中，由勾股定理得，
EG= =3，
∴EF=2EG=6；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，
又O为AB的中点，
∴CO=BO=4 ，
又OG⊥BC，
∴CG=BG=BC=8，
∴CE=CG-EG=8-3=5，
∴CE=EO，
∴∠COE=∠OCE，
∴sin∠OCE=．
∴∠COE的正弦值为．
【例8】如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结，当时，求x的值；
（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）6
【解析】
解：(1)由勾股定理，，
∵点M为线段的中点，
∴PM⊥BE，
中，，解得，
点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时，
BE=BD=，，，该函数的定义域为：．

（2）过点E作于点H，若，可知
设，则
由勾股定理，可得，解得
所以，解得（负根舍去）
所以

（3）①若，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意；
②时，此时E与D重合，，解得
所以

③时，过点E作，交延长线于点Q

由，可得，所以
代入数据，，解得
综上，的面积为6．


举一反三
1．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ）
A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分
【答案】D
【解析】
A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；
故选D.
2．如图，在⊙O中，OA、OB为半径，连接AB，已知AB＝6，∠AOB＝120°，那么圆心O到AB的距离为__．

【答案】.
【解析】
过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：
由垂径定理可知，OC垂直平分AB，则AC＝AB＝3，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴tan∠OAB＝tan30°＝，
∴OC＝AC•tan30°＝3×，即圆心O到AB的距离为；
故答案为．
3．如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．

【答案】120．
【解析】
连接OC，
∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵OE=BE，
∴OE=，
在Rt△OCE中，OE=，
∴cos∠COE=，
∴∠OEB=60°，
∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°.
故答案为120.

4．如图，是圆的直径，与交于点．如果，那么的长为_____．


【答案】
【解析】
解：∵，
∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，
∴∠A＝30°，
∴OE＝AE•tan30°＝×＝，
∴OA＝OD＝2OE＝，
∴DE＝OD−OE＝−＝．
故答案为：．
5．如图，的半径长为5cm，内接于，圆心O在的内部，如果，cm，那么的面积为________cm

【答案】32
【解析】
如图，过点A作于点M，连接OC，
AB=AC且BC=8,

BM=CM=BC=4
∵圆的半径等于5




故答案为32
6．若⊙的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙的直径长为__________．
【答案】26
【解析】
解:根据题意画出相应的图形,如图所示,

∵OC⊥AB
∴AC=BC= AB=12
在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, ,
根据勾股定理得: AO= ,
则圆 O的直径长为26 .
故答案为:26
7．已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为_____厘米．
【答案】8
【解析】如图，弓形AB的高CD=2厘米，连接OA，

Rt△OAD中，OA=5cm，OD=OC-CD=3cm，
根据勾股定理，得AD=4cm，
故AB=2AD=8cm．
即这个弓形的弦长是8厘米．
故答案为8.
8．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了，两点，并连接，在劣弧上取中点，连接．经测量米，．根据这些数据，请你计算出地下排水管的直径（精确到0.1米）．（参考数据：，，）

【答案】2.1米
【解析】
解：设圆心为，连接、交于．

∵点是弧的中点，是半径．
∴，．
在△中，，，米，
∴米．
米．
设圆的半径为 米，则米．
在△中，，米，米，米，
∴．
解得，则米．
答：地下排水管的直径约为2.1米．
9．如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．

【答案】（1）5；（2）
【解析】
解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．
∴OF＝OD•cos∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．

10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P是劣弧的中点，求tan∠PAB的值．

【答案】（1）⊙O的半径为5；（2）
【解析】
解：（1）如图1，连接OB，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，
∵cot∠BAC＝2，BC＝4，
∴ ，
∴＝2，
∴AC＝8，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）如图2，连接OP，OP交AB于E，

Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝3，
Rt△ACB中，AB＝ ，
∵点P是劣弧AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴AE＝BE＝2，
∴OE＝ ，
∴EP＝OP﹣OE＝5﹣ ，
Rt△AEP中，tan∠PAB＝ ．
课后作业
1．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．

2．下列关于圆的说法中，错误是（ ）
A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦
【答案】B
【解析】
A选项，等圆或同圆中，相等的弦所对的弧相等，故：正确；
B选项，垂径定理中需要注意的是，被平分的弦不能是直径，因为如果在同一个圆中，直径是互相平分且可以不垂直的，所以B错误；
C选项，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故：正确；
D选项，相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦，故：正确．
故：选B．
3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　）

A．2 B．﹣1 C． D．4
【答案】A
【解析】解：∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，半径为2，
∴CE=OC=1，
∴CE=CD，
∴CD=2
故选：A
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
【答案】C
【解析】
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
5．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．

【答案】
【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，

∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝＝，
故答案为：．
6．如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，那么__________．

【答案】3
【解析】
解：过O作OM⊥EF于M点，连OE，如图，

则EM=MF，OM=AD，
∵EF=8，∴EM=4，
又∵圆心O在AB，∴GB为⊙O的直径，∴OE= GB=5，
在Rt△OEM中，OM= ，
∴AD=3．
故答案为3．
7．如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为___________．

【答案】
【解析】
如图，连接PA、PB，作于点F，根据题意可知OF=1，再由垂径定理可知，AF=BF=AO+OF=2，所以OB=OF+BF=1+2=3，即B点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
．
8．如图，已知在⊙O中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，，那么______．

【答案】
【解析】
解：如图，连接OD，

设，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，即，解得，，
∴，，
根据垂径定理得．
故答案是：．
9．如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在⊙O上，如果P是的中点，PD与AB交于E点，那么＝_____．

【答案】．
【解析】
连接OP，交AB于点F，连接AC．

根据垂径定理的推论，得OP⊥AB，AF＝BF．
根据90°的圆周角所对的弦是直径，则AC为直径．
设正方形的边长是1，则AC＝，圆的半径是．
根据正方形的性质，得∠OAF＝45°．
所以OF＝，PF＝．
∵OP∥AD，
∴＝＝．
故答案为：．
10．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．

【答案】10
【解析】
设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4
半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16
∴AD=AB=8，
在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2
解得：r=10
故答案为10.
11．已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是_____厘米．
【答案】10
【解析】
试题解析：如图，

过圆心O作OD⊥AB，交弧于C．则CD=1，连接OA．
在直角△AOD中，OA=13，OD=13-CD=12，
则AD==5，
∴AB=2AD=10．
故答案是：10．
12．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.

【答案】(-1,1)
【解析】
试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），

13．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的的长（结果保留π）．

【答案】（1）50cm；（2）cm
【解析】
（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，

∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，

∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°
∴∠OAH＝30°
∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB
∴∠BOH＝∠AOH＝60°
∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
14．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．

【答案】（1）8；（2）
【解析】
解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝，
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CFAB，得，
则．

15．如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为点，是弧的中点，与弦交于点．
（1）如果是弧的中点，求的值；
（2）如果的直径，，求的长．

【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）连接OC，
∵E是的中点，
∴，OE⊥BC，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝60°，
∴∠OCB＝∠COB＝30°
∴∠COD＝60°
∴∠OCD＝30°，
在Rt△COD中，∠OCD＝30°，
∴ODOC，
∴ODOB，
∴AD：DB＝1：3；

（2）∵AB＝6，
∴OA=OB=OE=3，
∵FO：EF＝1：2，
∴OF＝1，
在Rt△BOF中，BF2，
∴BC＝4，
∵CD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠BDC＝∠BFO＝90°，又∠B＝∠B，
∴△BFO∽△BDC，
∴，即，
解得，CD．
16．如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，
（1）求的半径；
（2）求到弦的距离．

【答案】（1）的半径为5cm；（2）到的距离为cm
【解析】
解：（1）连接，设半径为，则，

是的直径，弦于，，
，
在中，，

．
（2），
，，，

，

，
．
17．如图，已知的半径为，在中，、都是圆的半径，且．点在钱段的延长钱上，且．

（1）求线段的长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）过点作交于点，
∵，，，，
∴，
，
∵在中，
∴，
∴，
∴．
（2）过点作交于点，
，
，
∴



18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．
（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；
（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；
（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．

【答案】（1）；（2）∠DFA的余切值为；（3）DE的长为或．
【解析】
解：（1）如图，

过点D作DH⊥AC，垂足为H．
在Rt△AEH中，，
．
在⊙A中，AE＝AD＝x，
∴ ，
∴；
（2）∵，
∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，
则AC＝＝3k．
∵AC＝15，
∴3k＝15，
∴k＝5．
∴BC＝20，AB＝25．
∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，
∴∠FAC＝∠BAC．
∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，
∴△FCA≌△BCA（ASA），
∴FC＝BC＝20．
∵，
又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，
∴tan∠FEC＝2．
∴．
∴AE＝AC﹣EC＝15﹣10＝5．
过点A作AM⊥DE，垂足为M，
则．
∵，
∴ ．
在Rt△EFC中，．
∴在Rt△AFM中，．

答：∠DFA的余切值为；
（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．
∵FC＝CE•tan∠FEC＝2（15﹣x），
∴．
∴．
∵，
又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，
∴．
∴．
∴AD＝x＝．
∴．
当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，


∠AFC＝∠AEF．

∵∠AFC、∠AEF都为锐角，
∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．
∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，
∴CF＝CE•tan∠AEF＝2（x﹣15）．
∴．
∴AD＝x＝．
∴．
综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．