第18讲直线与圆的位置关系- 2022-2023学年九年级数学下册 精讲精练（沪教版）

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第18讲 直线与圆的位置关系

知识一、直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．
2.数量关系描述直线与圆的位置关系
如果的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么：
直线l与相交；
直线l与相切；
直线l与相离．
题型探究

【例1】（1）在中，，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r = 2 cm；（2）r = 2.4 cm；（3）r = 3 cm．
【答案】（1）相离；（2）相切；（3）相交．
【解析】由题意得圆心到直线的距离为，
（1）∵，∴直线于圆相离；
（2）∵，∴直线于圆相切；
（3）∵，∴直线于圆相交．
（2）已知的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与的位置关系是__________
【答案】相交．
【解析】
解：∵⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．
故答案为：相交．
【例2】（1）已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是_____．
【答案】r＞2
【解析】
∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2，∴r＞2．
故答案为：r＞2．
（2）已知的半径为，直线，且与相切，圆心O到的距离为，则与的距离为___________．
【答案】1或15
【解析】
解：∵l1与⊙O相切，
∴O点到l1的距离为7cm，
当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm=15cm；
当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm-7cm=1cm，
∴l1到l2的距离为1cm或15cm．
故答案为：1或15．
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）

A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】C
【解析】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，
∵BO＝2OA，
∴OA＝10，OB＝20，
过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，
∴，，∴，，
∴OE＝16，OD＝6，
当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得，
如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，
∴r＝6或10或16或，
故选：C．

【例3】下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线；
B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；
D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．
【答案】B
【解析】
由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，
故选：B．
举一反三
1．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（　　）
A．⊙C与直线AB相交 B．⊙C与直线AD相切
C．点A在⊙C上 D．点D在⊙C内
【答案】D
【解析】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，
∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，
∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，
∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，
故选：D．
2．下列四个选项中的表述，一定正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【答案】C
【解析】
A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误；
B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项错误；
C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项正确；
D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.
故选C
3．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（ ）

A．rB = B．4 < rB ≤
C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数
【答案】C
【解析】
解：作CD⊥AB于D，如图，

在Rt△ABC中，BC＝，
∵BD•AC＝AB•BC，
∴CD＝
当⊙C与AB相切时，r＝2；
当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．，
综上所述，当r＝2或4＜r≤4
故选C．
4．已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
【答案】A
【解析】
【解析】解：点P(-2，3)到x轴的距离是3，3>2，
所以圆P与轴的位置关系是相离，
故选A.
5．在中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于_____．
【答案】
【解析】
如图，设圆与斜边AB的切点为点D，连接CD，则
由圆的切线的性质得：

是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形

故答案为：．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为_____．

【答案】5＜r≤6或.
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，
∴BC=6，AC=8，
∵CD为AB边上的中线，
∴CD=BD=5，
∴CD边的高=6×8÷2÷2×2÷5=，
∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或r＝．
故答案为5＜r≤6或r＝．
7.如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作⊙O交AN于D、E两点．
⑴ 当⊙O与AM相切时，求AD的长；
⑵ 如果AD＝2，那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系？并说明理由．

【答案】(1)4;(2) AM与⊙O相交,理由见解析
【解析】
解：⑴如图1，设切点为F，连接FO，
∵⊙O与AM相切于点F，OF为半径，
∴FO⊥AM，∴∠AFO＝90°.
∵∠A＝30°，OF＝4，
∴AO＝2OF，AD＝AO–DO＝8－4＝4．

⑵AM与⊙O相交．
理由：如图2，过点O作OF⊥AM于F，
∴∠AFO＝90°，
∵AD＝2，DO＝4；∴AO＝AD＋DO＝6，又∠A＝30°，
∴OF＝AO＝×6＝3＜4，
∴AM与⊙O相交．
知识二、切线的判定定理

1.切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2.证明切线的思路：（1）有切点：连切点，证垂直；（2）无切点：做垂直，证半径
题型探究

【例4】（1）如图，AB是的弦，C是外一点，OC交AB于点D，若，CD = CB．
求证：CB是的切线．
O

A
B
C
D

【答案】详见解析．
【解析】连接，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴CB是的切线．
（2）如图，⊙O的直径为，点在圆周上（异于），是的平分线，.
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若=3，，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接OC，

∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，
又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得AC＝4．
∵∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠D＝ 90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得：AD＝．
举一反三
1．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）证明：直线FC与⊙O相切；
（2）若OB=BG，求证：四边形OCBD是菱形．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
解：（1）连接．

∵， ∴
由翻折得，，．
∴．
∴OC∥AF．
∴．
∵点C在圆上
∴直线FC与⊙O相切．
（2）解一：在Rt△OCG中，∵，∴，
∵直径AB垂直弦CD， ∴
∴
∵
∴．
∴四边形OCBD是菱形．
解二：在Rt△OCG中，∵，∴，
∵，∴
∵AB垂直于弦CD， ∴
∵直径AB垂直弦CD， ∴
∴四边形OCBD是平行四边形
∵AB垂直于弦CD，∴四边形OCBD是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．其中要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
2．如图，在中，，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E是BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径的长．
【解析】
（1）证明：连接OD，OE，如图所示：

∵点O、E分别是AC、BC的中点，
∴OE∥AB，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∴，
∴，
∵OD=OC，OE=OE，
∴（SAS），
∴，即，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）可得：，则有，
∵，，
∴，
设OD=OC=x，则，
∴在Rt△ODF中，，即，
解得：，
∴，即⊙O半径的长．
课后作业
1．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解析】
∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm
∴点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙O上
当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切；
当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD