第20讲正多边形与圆- 2022-2023学年九年级数学下册 精讲精练（沪教版）

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第20讲 正多边形与圆

知识一、直线与圆的位置关系

1.正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形．
2.正n边形的对称性
正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n．
当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．
3.正多边形的外接圆和内切圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．
正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
每一个中心角==它的每一个外角
4.正多边形的性质
　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　　　　　　　
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
5.正多边形的画法
（1）用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
（2）用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形。
　　
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
　　
②正六、三、十二边形的作法。
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
题型探究

【例1】（1）正十边形有______条对称轴，它不仅是______对称图形，还是______对称图形，它的中心角是______°．
【答案】10；轴；中心；36．
【解析】正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n，如果为偶数，则正n边形也是中心对称图形，中心角．
（2）正九边形的中心角等于____________________．
【答案】
【解析】
正九边形的中心角等于：
故答案为：40.
（3）一个正n边形的中心角等于18°，那么n＝_____．
【答案】20
【解析】
∵正n边形的中心角为18°，
∴18n=360，
∴n=20.
故答案为20.
（4）如图，分别为的内接正方形、内接正三角形的边，是圆内接正边形的一边，则的值为_______________________．

【答案】
【解析】
解：如图所示，连接AO，BO，CO．

∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：12．
知识二、正多边形的相关计算

设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积.

题型探究

【例2】（1）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为__________．
【答案】；
【解析】
由题知，依据正六边形的性质，如图：

构造等边三角形；∴为等边三角形的高；
∴即为正六边形的边心距；
又,∴；
由勾股定理可得：；
故填：；
（2）如图，正六边形ABCDEF内接于，若，则的半径为______．

【答案】3cm
【解析】

解：连接AO，BO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵AB＝3，
∴⊙O的半径为：3．
故答案为：3．
（3）已知正六边形的外接圆的半径是5cm，则该正六边形的边长是____
【答案】5cm．
【解析】
解：如图，AB为⊙O内接正六边形的一边；

则∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=5（cm）．
故答案为5cm．
（4）一个正六边形的边心距为，则这个正六边形外接圆的周长为_____．
【答案】
【解析】
解：如图，连接OA，过O作OM⊥AB于M，
∵正六边形为圆内接正六边形，且OM=，
∴OA=AB，∠AOM=30°，
∴OM=OA·cos30°=，
OA=3，
即该正六边形外接圆的周长为，
故答案为： 6π．
（5）如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为____．

【答案】3
【解析】解：如图所示，连接EO，作EF⊥CO交CO于点F
由题意可得n=12
∴∠EOC=30°
∴EF=EO=
∴S△EOC===
∴该正12边形的面积=12 S△EOC=3

故答案为：3
举一反三
1．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为．
2．如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部分的周长为__________．

【答案】
【解析】
如图所示：设三个圆的圆心为A，B，O，连接AD，AC，BO，

则AD过B，AC过O
且AB= BO= AO= 2，即三角形ABO是等边三角形，∠A=∠ABO=∠ AOB = 60°，
∴∠OBD=∠BOC = 120°，
两个小弧长是：，
弧DC长是
阴影部分的周长是:π+2×
故答案为：
3．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．

【答案】．
【解析】
解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，

在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
4.若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为_____．
【答案】
【解析】
解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形边长为6，
∴正方形的对角线长为，
外接圆半径为．
如图所示：作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠BOD=60°，

在Rt△BOD中，OB=，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB=．
∵BD=CD，
∴BC=2BD=．
故答案为：．
5.一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径_______．
【答案】
【解析】
解：设正多边形的边数为n，由题意得
，
解得 n=6
∴正多边形为正六边形，
∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
∴该正多边形的半径等于4．
故答案为：4
6.如图，正六边形的边长为2，则的周长为__．

【答案】
【解析】
作，垂足为．如图所示：

则，
，
，
六边形是正六边形，
，，
，
，
，
的周长为．
故答案为．
7.如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为_____．（用锐角α的三角比表示）
【答案】 （或）
【解析】
分析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形即可.
解析：如图所示：
∵正n边形的中心角为2α，边长为5，
∵边心距OD= （或），
故答案为 （或）.
8.已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为______________．
【答案】．
【解析】解：如图所示：
连接、、，过作于，
正三角形外接圆的半径为2，
，，，
，
，，，
，
，
故答案为：．

课后作业

1．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】B
【解析】
如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=90°，
∵外接圆半径是其内切圆半径的倍，
∴cos∠AOC==，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，
∴此多边形的边数=360°÷90°=4，

故选：B．
2．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：由题意可得如图：

假设AB为正n多边形的一条边，OC⊥AB，
，
OA=r，
；
故选D．
3．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
则这个正n边形的中心角是60°，

n的值为6，
故选C
4．已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．
【答案】54．
【解析】
解：连接OE、OD，如图所示：

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOD＝，
∵OE＝OD＝6，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6×＝3，
∴S△ODE＝DE•OH＝×6×3＝9，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△ODE＝54．
故答案为：54．
5．如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．

【答案】
【解析】
解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，
∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠OBC＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴BC＝2CD＝6，
故答案为：6．

6．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝_____．（π取3.14，结果精确到0.01）

【答案】0.14
【解析】
解：如图，过A作AC⊥OB，

∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积，
∵圆的内接正十二边形的中心角为，
∴，
∴圆的内接正十二边形的面积，
∴，
故答案为：0.14．
7．正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________．
【答案】
【解析】
解：如图所示，边长AB=2；

又该多边形为正六边形，
故∠OBA=60°，
在Rt△BOG中，BG=1，OG=，
所以AB=2，
即边长、半径、边心距之比为2：2：．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．

【答案】18°．
【解析】
解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠ABC==108°，
∵∠AFC=126°，
∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．
故答案为：18°．
9．如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．

【答案】
【解析】

连接OA、OF，设OA=R，OF=；
AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，，AF=
在中，即
又，
．
故答案为．
10．一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于____．
【答案】2.
【解析】
根据题意作图，∵一个正多边形的对称轴共有10条，
∴这个正多边形为正十边形，故每个内角为144°，
则图中∠OAB=∠OBA=72°，
故∠AOB=36°，
在BO上找一点C，使AC=CO，则∠OAC=∠AOB=36°，∠BAC=∠OAB-∠OAC=36°，
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=72°.
∴△ACO、△ABC都为等腰三角形.
∵∠BAC=∠AOB=36°，
∴△ABO∽△BCA，
设AB=x，可知OC=x，BC=4-x，
∴，即
解得x=2.(- 2舍去)
则正多边形的边长2

11．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是_________．（用含字母a的代数式表示）．
【答案】
【解析】
设这个正多边形的一个外角为x，则正多边形的一个内角为2x，
∴x+2x=180，
解得x=60
即这个正多边形的一个外角为60°，
∴这个正多边形的边数为：，
即这个正多边形为六边形.
已知这个正多边形的边长为a，即可求得此正多边形的边心距是.
故答案为.
12．已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm．
【答案】
【解析】∵正方形的边长为2,
由中心角只有四个可得出：
∴中心角是：
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC
∵
∴
故答案为

13．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于_____．

【答案】12
【解析】
连接AO，BO，CO,如图所示：

∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，
∴∠AOB==60°，∠AOC==90°，
∴∠BOC=30°，
∴n==12，
故答案为12.
14．正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于__________度．
【答案】540
【解析】
解：∵正多边形的中心角为72度，
∴边数为：360°÷72°=5，
∴这个正多边形的内角和=（5-2）•180°=540°．
故答案为：540．
15．正十边形的中心角等于______度．
【答案】
【解析】
正十边形的中心角等于360°÷10=°
故答案为：36．
16．一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．
【答案】6
【解析】
∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，
∴正n边形的一个内角=．
∵正n边形的中心角=
=，
解得：n=6．
故答案为6．
17．如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是_____．
【答案】35
【解析】
解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
所以这个多边形的对角线条数是（条），
故答案为：35．
18．据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）

【答案】
【解析】
解：∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE为直径，=45°，
由题意得AB=2.5，
∴CE=2.5-0.25×2=2，
∴CD=CE ，
∴=45°，
∴正方形CDEF周长为尺．

故答案为：
19.我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．
【答案】
【解析】
解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE
∴∠OEC=∠OCE=30°
∴∠BCE=90°，
∴△BEC是直角三角形
∴=cos30°=，
∴λ6=.
20．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．

【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的长为12
【解析】
解：（1）如图，连接OQ．

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=DE，∠ABC=120°．
∴，∠EBC=∠ABC=60°．
∵点Q是的中点，
∴．
∴，
即．
∴∠BOQ=∠EOQ，
又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，
∴∠BOQ=∠EOQ=90°．
又∵BO=OQ，
∴∠OBQ=∠BQO=45°，
∴∠CBG=60°45°=15°．
（2）如图，在BE上截取EM=HE，连接HM．

∵六边形ABCDEF是正六边形，直径BE=8，
∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，
∴∠FEB=∠FED=60°．
∵EM=HE，
∴是等边三角形，
∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，
∴∠C=∠HMB=120°．
∵∠EBC=∠GBH=60°，
∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，
即∠GBC=∠HBE．
∴△BCG∽△BMH，
∴．
又∵CG= x，BE=8，BC=4，
∴，
∴y与x的函数关系式为（）．
（3）如图，当点G在边CD上时．

由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，
① 当时，
∵AF=ED，
∴FH=DG，
∴，
即：，解分式方程得．
经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．
② 当时，
即：，解分式方程得．
经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图，当点G在CD的延长线上时．

由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，
① 当时，
∵AF=ED，
∴FH=DG，
∴，
即：，解分式方程得．
经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．
② 当时，
即：，解分式方程得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．