第26章 二次函数单元测试- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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第26章 二次函数单元测试
一、单选题(每题4分，共24分)
1．(本题4分)下列各式中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：A、当a=0时，不是二次函数，故不符合题意；
B、右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意；
C、，是二次函数，故符合题意；
D、，变形可得，不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
2．(本题4分)将二次函数的图像先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线的顶点坐标为（0，0）．
向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标为（-3，2），得到的抛物线的解析式是：．
故选：C．
3．(本题4分)已知(﹣3，y1)，(1，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＝y2＞y3 D．y1＞y2＝y3
【答案】C
【解析】
解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y2），
∵1＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选C．
4．(本题4分)二次函数y=ax2+bx+c.的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得，
开口向上则有a＞0，对称轴在y轴左侧且a＞0则有b＞0，图象与y轴交于正半轴则有c＞0，
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
5．(本题4分)已知二次函数的最小值为2，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
由二次函数有最小值可得：a>0，
由最小值为2可得：二次函数与x轴没有交点，
即一元二次方程ax2+ bx + c=0(a ≠0)无解，
∴ b2－4ac0，b2－4ac0，
故答案为：．
17．(本题4分)如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．

【答案】
【解析】
设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（10﹣2x）米，根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x．
故答案为S=﹣2x2+10x．
18．(本题4分)如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．
【答案】
【解析】
解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为．
三、解答题(10+10+10+10+12+12+14=78分)
19．(本题10分)如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．
（1）求点A坐标；
（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．

【答案】（1）点A的坐标为（﹣1，0）；（2）y＝+4，顶点坐标是（1，）．
【解析】
解：（1）∵B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA，
∴OC＝4，
∴OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）设这条抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵点C（0，4）在此抛物线上，
∴4＝a（0+1）（0﹣3），
解得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝+4＝﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，），
即这条抛物线的解析式为y＝+4，它的顶点坐标是（1，）．
20．(本题10分)在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．
（1）求新抛物线C2的表达式；
（2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离．

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣4；（2）4个单位．
【解析】
解：
（1）由抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3，即y＝（x+1）2﹣4；
（2）由平移的性质知，点A与点A′的纵坐标相等，
所以将y＝5代入抛物线C2，得（x+1）2﹣4＝5，则x＝﹣4或x＝2（舍去）
所以AA′＝4，
根据平移的性质知：BB′＝AA′＝4，即点B与其对应点B′的距离为4个单位．
21．(本题10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）点P的坐标是（1，0）
【解析】
解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线，
∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，
∴抛物线的顶点C在x轴的上方，
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）．
可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1．
因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，

点B的坐标是（0，3）．连接BC．
∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，
得AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=．
即∠CAB的正切值等于．
（3）如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，
∴△ACB∽△BPO，
∴，
∴，OP＝1，
∴点P的坐标是（1，0）．
22．(本题10分)某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
【答案】（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【解析】
（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝−2x+160，
∴，
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是；
（2）由（1可得），
可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
23．(本题12分)甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

【答案】米.
【解析】
由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得：，
解得：，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1，
∵y=﹣（x﹣4）2+，
∴飞行的最高高度为：米．
24．(本题12分)如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）
【解析】
解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2−2x−3），
将点C坐标代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1
设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
25．(本题14分)如图，抛物线与坐标轴交点分别是、、，作直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴于点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式及的取值范围；
（3）条件同（2）若与相似，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
解：（1）把点、、代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）可设，那么，AB=4，
∴；
（3）当与相似，则有，
有两种情况：
①，即，
解得，则
所以；
②，即，
解得，则，
所以．
综上所述若与相似，点或．