第06讲 相似三角形的性质- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

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知识梳理
1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
3.相似三角形性质定理2
相似三角形的周长的比等于相似比．
4.相似三角形性质定理3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
题型探究
题型一、利用相似三角形性质的求解
【例1】求长度、周长、面积
（1）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长．
【答案】4．
【解析】解：，、分别是对应中线，
即，
（2）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长．
【答案】8．
【解析】解：，、分别是、的平分线，
即，即的平分线的长为8．
（3）已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长．
【答案】．
【解析】解：，；
又，．
（4）如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．
【答案】．
【解析】两三角形的相似比为，则周长比为，设大三角形周长为，小三角形周长为，则，所以，所以大三角形的周长为．
（5）如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE//BC，，，．求的值．
【答案】36．
【解析】解：，，
，．
（6）如图，在中，D是AB上一点，若，，，，求的面积．
【答案】．
【解析】解：，，，
，
又，．
（7）（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，且，求的长．
【答案】4.32cm
【解析】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴．
∴EF=BC
又∵EF+BC＝7.2cm，
∴BC＝4.32cm．
（8）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，AB=8，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长．
【答案】BD=
【解析】
解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
∵△ADE与△ABC的面积的比等于1:2
∴AD：AB=
∵AB=8∴AD=
∴BD=
（9）（重要模型）（2019·上海九年级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】这个正方形零件的边长是48mm．
【解析】
设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【例2】比值
（1）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______．
【答案】4:3
【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．
故答案为：4:3．
（2）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的对应角平分线的比为_______．
【答案】
【解析】解：两个相似三角形的面积比为1:2，
则它们的相似比为：，
则它们的对应角平分线的比为
故答案为：
（3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
【答案】5:2 25:4
【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
（4）（2019·上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________
【答案】
【解析】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，
∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4．
（5）（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
举一反三
1．（2017·上海九年级一模）如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．B．的面积：的面积
C．的度数：的度数D．的周长：的周长
【答案】D
【解析】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.
故选：D
2.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形对应中线的比为1：3，且小三角形的面积是，那么大三角形的面积为____．
【答案】
【解析】∵ 两个相似三角形对应中线的比为1：3，∴相似比＝，
∵面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S，大三角形面积为S´，
∴，即：，解得：S´＝，
故填：．
3.（2021·上海九年级其他模拟）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为_____．
【答案】3
【解析】解：如图，

∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则，即，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故答案为：3．
4.（2020·上海宝山区·九年级月考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．
【答案】
【解析】解：
到的距离：点到的距离．到的距离：3
到的距离为，
故答案为．
5．（2020·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）已知两个相似三角形的相似比为4∶9，则它们的周长比为（ ）
A．2∶3B．4∶9C．3∶2D．16∶8
【答案】B
【解析】
解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，
∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．
故选：B．
6．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．
故选：A．
7．（2018·上海民办兰生复旦中学九年级月考）如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍
【答案】D
【解析】解：形状不变周长扩大4倍，则高和底都扩大4倍，所以面积扩大16倍．
8．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）在中，，，绕着点旋转后能与重合，那么与的周长之比为___________．
【答案】．
【解析】如图
△ABC绕着点A旋转后能与△AB′C′重合，∴AB=AB′，AC=AC′
∴
又由旋转性质知∠BAB′=∠CAC′∴△ABB′∽△ACC′
∴．
故答案为：．
9．（2020·上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．
【答案】
【解析】解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，即相似比为2：3，
∴它们周长的比是2：3，
设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x，
由题意得，3x-2x=4，解得，x=4，
则2x=8，
∴较小的三角形的周长为8．
故答案为：8．
10．（2020·上海九年级月考）如图，，与交于点，若，则_______．
【答案】
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠ODC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，∴，
∴
故答案为：．
11（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝________．
【答案】4
【解析】解：∵连接AO并延长交BC于Q，
∵O是△ABC的重心，
∴AO：OQ=2：1，∴AO：AQ=2：3，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，
∴
∵BC＝6，
∴EF=4．
故答案为：4．
12．（2020·上海九年级月考）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC＝15，高AH＝10，求正方形DEFG的边长和面积．
【答案】正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
【解析】解：高AH交DG于M，
设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，
∴AM=AH﹣MH=10﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，即，
∴x=6，
∴正方形DEFG的面积为：x2=36．
答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
13．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD:S△DOC＝2:3，求S△AOB:S△COD．
【答案】S△AOB∶S△COD=4:9
【解析】
∵AB∥CD
∴△CDO∽△ABO
∵S△AOD∶S△DOC＝2∶3
∴AO：CO=2∶3
∴S△AOB∶S△COD=4:9．
题型二、证明线段成比例
【例3】
（1）（直接用三角形相似得到比例）（2021·上海九年级二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证：．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【解析】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△DEC，
∴，
∴CE•AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，
∴，
∴，
∴．．
（2）（换线段）（2018年上海宝山区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F，联结BF，交AC于点G．
（1）求证：；
（2）若AH平分∠BAC，交BF于H，求证：BH是HG和HF的比例中项．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）∵CF∥AB,DE是中位线，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE=EF,
∴
联结CH,易证,
∴∠HCG=∠DBH=∠HFC,又∵∠GHC=∠CHF
∴,
又∵BH=HC,,即BH是HG和HF的比例中项．
（3）（等量代换）（2018年上海黄浦区一模） 如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项.
E
D
C
B
A
（1）求证：∠CDE=∠ABC；
（2）求证：AD•CD=AB•CE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）∵BD是AB与BE的比例中项，
∴，
又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE
∴∠A=∠BDE.
又∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠CDE=∠ABD=∠ABC，即证.
∵∠CDE=∠CBD，∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBD，
∴.
又△ABD∽△DBE，
∴
∴，
∴.
方法总结:证明线段成比例的几种方法
（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似；
（2）换线段法：若不属于（1）的情况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一条线段代换一下，变成适合（1）的情况；
（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例式两端的比是否能等于另外的比，证出哪些比相等，最后转换回来，得到.
当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，换成后，再进行等量代换的思考.
举一反三
1．（2020年上海九年级课时练习）已知：如图，在中，，点、分别在边、上，，与相交于点，∠ =∠．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）∵DA=DB，
∴∠FBA=∠EAC，
∵=，
∴180º- =180º-，
即 =．
∵，∴≌．
∴．
（2）∵≌，
∴．
∵ =，=，
∴∽．
∴． ∴．
∵，，
∴．
2．（2021·上海九年级期中）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结
（1）求证：；
（2）连结，如果，且，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴，
∴；
（2）解：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，∴∠BEA＝∠BAE，
∴是等腰三角形，∴BA＝BE＝6，
∵BG⊥AE，∴AG=EG，
∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴，
即AG＝GE＝EF，
∵△GDF∽△DAF，AD=FD，
∴DG=FG，∴DG=，
∵，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
3．（2020·上海交大附中九年级期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AD•AB；
（2）证明：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ADF=∠ACG，
∵，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，
又∵∠ACD=∠B，
∴△AFC∽△AGB，
，
∵∠CFG=∠CAG+∠ACD，∠CGF=∠BAG+∠B，
∴∠CFG=∠CGF，∴CG=CF，
由（1）得：
∴CG2=DF•BG．
课后作业
1．（2021·上海九年级一模）在梯形中，，对角线与相交于点O，下列说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，，，故D正确，∴，
∴，故C错误；
∵，
∴，A正确；
∴，即，故B正确；
故选C．
2．（2021·上海九年级一模）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接并延长交于点．
点是的重心，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
，
（公共角），
∽，，
，
，，
．
故选：C．
3．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
A．9:4B．4:9C．3:2D．81:16
【答案】C
【解析】∵相似三角形的面积比为9：4，
∴这两个相似三角形的相似比为：3：2，
∴这两个相似三角形的周长比为：3：2．
故选：C．
4．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等
B．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等
C．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等
D．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等
【答案】A
【解析】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确；
B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同． 这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B正确；
由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等，故CD正确．
故选：A
5．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）△ABC∽△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2的相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3＝10：15，
又∵△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4＝15：12，
∴△ABC与△A2B2C2的相似比为10：12＝5：6，
故选：B．
6．（2020·上海青浦区·九年级一模）如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ）
A．1∶2；B．1∶4；C．1∶6；D．1∶8．
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2，
又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，
∴它们的对应高之比是：1∶2，
故选：A.
7．（2019·上海浦东新区·九年级期中）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的对应角平分线之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．16：81D．
【答案】B
【解析】解：∵这两个三角形对应边之比为4：9
∴这两个相似三角形的相似比是4：9，
∵其对应角平分线的比等于相似比，
∴它们对应的角平分线比是4：9．
故选B.
8．（2019·上海市天山初级中学九年级期中）若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
,、、分别与、、对应，且
∴对应中线之比=.
故选B.
9．（2019·上海九年级一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（ ）
A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9
【答案】B
【解析】解：∵AD：ED＝3：1，
∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴L△ABE：L△ACD＝2：3，
故选：B．
10．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）已知，点、、对应点分别是、、，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，，
∴S△ABC：S△DEF＝．
故选B．
11．（2019·上海）如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，，，，
∴,
∵∠AOD=∠BOC,∴△OAD∽△OBC,
∴，,
故A正确，D错误；
∵，，，，
∴,
∵∠AOB=∠DOC,∴△OAB∽△ODC,
∴,,
故B正确，C正确；
故选D.
12．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
【答案】108
【解析】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵，
∴FP：IE：PH=1：2：3，∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
13．（2020·上海九年级月考）有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．
【答案】22
【解析】设另一个三角形的另两边为x、y，
∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，
∴两个三角形的相似比为=，
∴，
解得：x=8，y=10，
∴第二个三角形的周长为4+8+10=22，
故答案为：22
14．（2019·上海市育才初级中学九年级月考）如图所示，，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为____________．
【答案】
【解析】解：∵面积为3，的面积为5，
∴ ，
又∵，AC、BD相交于点E，
∴△DCE∽△BAE，
，
∴，
又∵，
∴,
∴梯形的面积=
故答案为：．
15．（2019·上海市育才初级中学九年级月考）已知中，点D在边AC上，AB=12，AC=8，AD=6，点E在边AB上，若和相似，则AE的长是____________．
【答案】9或4
【解析】
解：∵△ADE和△ABC相似，
而∠BAC=∠DAE，
∴，即，解得AE=9；
当，即，解得AE=4，
综上所述，AE的长为9或4．
故答案为9或4．
16．（2018·上海市刘行新华实验学校九年级期中）两个相似三角形的的相似比为，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为，则这两条高中较短的长度为_________
【答案】8
【解析】设对应边上的较长高为，则较短高为，根据相似的性质，
则有
∴x=
所以较短高为
所以答案为8
17．（2020·上海市民办协和双语学校九年级一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
【答案】；
【解析】如图，∵，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
故答案为：1
18．（2020·上海九年级期末）如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______． （不需写出x的取值范围）．
【答案】；
【解析】解：四边形是矩形，，上的高，，矩形的面积为，
，
，
，
得，
，
故答案为：．
19．（2019·上海市民办嘉一联合中学九年级月考）如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点，若，，，求：
（1）的长．
（2）的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1） ∵四边形是平行四边形，E是BA延长线上一点，
∴，，
∴，，
∴（AA），
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
（2） ∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

20.中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC．
（1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长；
（2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1），．，，
，，，；
（2），，
，．
，，，
，．
21．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，已知，和相交于点，，，是上一点，．
（1）求的长；
（2）如果的面积为4，求的面积．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】（1）∵，设三角形BC边上的高为h，
∴，
∴，
∵，
∴∠A=∠EBD,∠ACE=∠EDB，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴，
∵∠ECF=∠DCB，
∴△CEF∽△CDB，
∴∠CEF=∠D，
∴EF∥DB，
∴AC∥EF∥DB，
∴，
∵AC=6，
∴；
（2）由（1）得AC∥EF，AC=6，EF=2.4 ，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∵的面积为4，
∴．
22．已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，，垂足为点，且．
（1）求证：；
（2）过点作的垂线，交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
23．（2021·上海九年级一模）已知：如图，，，，，点、分别为垂足．
（1）求证：；
（2）连结，如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明（1）
∴，
又∵AE、DF分别是与对应边上的高，
（2）如图，连结EF
，，
∴，
，
∴
，
∴
∴