人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形综合训练题

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 人教版八年级数学上册13.3.1.1《等腰三角形的性质》同步训练习题（学生版）　一．选择题1．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　）A．12 B．9 C．12或9 D．9或72．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　）A．35° B．45° C．55° D．60°3．（2015•台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（　　）A．114 B．123 C．132 D．1474．（2015•德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（　　）A．150° B．160° C．130° D．60°5．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）A．40° B．45° C．60° D．70°6．（2015•邯郸二模）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）A．12 B．16 C．16或20 D．207．（2015春•锦州校级月考）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（　　）A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12二．填空题8．（2015•广元）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为　　　　　　cm．9．（2015•南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=　　　　　　度．10．（2015•广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=　　　　　　．11．（2015•邯郸二模）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=　　　　　　度．12．（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　　　　　　．　　 三．解答题13．（2015•宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．　     14．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．　     15．（2015春•黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．　         16．（2015春•滕州市校级期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．　       17．（2014秋•海南校级期末）在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　　　　　　（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　　　　　　（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　　　　　　（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．　　
人教版八年级数学上册13.3.1.1《等腰三角形的性质》同步训练习题（教师版）　一．选择题1．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　）A．12 B．9 C．12或9 D．9或7选A　2．（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（　　）A．35° B．45° C．55° D．60°考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网分析： 由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．解答： 解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故选C．点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．　3．（2015•台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（　　）A．114 B．123 C．132 D．147考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．解答： 解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，故选B．点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．　4．（2015•德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（　　）　　A．150° B．160° C．130° D．60°考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质；多边形内角与外角．21世纪教育网分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°，再求出∠BAD=60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．解答： 解：∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=（360°﹣∠BAD）=（360°﹣60°）=150°．故选A．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．　5．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）A．40° B．45° C．60° D．70°考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．21世纪教育网分析： 根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解答： 解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．点评： 考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．　6．（2015•邯郸二模）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）A．12 B．16 C．16或20 D．20考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．21世纪教育网分析： 根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．解答： 解：根据题意得x﹣4=0，解得x=4，y﹣8=0，解得y=8，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选：D．点评： 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．　7．（2015春•锦州校级月考）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（　　）A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．21世纪教育网分析： 设底边长为y，再由三角形的三边关系即可得出结论．解答： 解：设底边长为y，∵等腰三角形的周长为24，腰长为x，∴2x+y=24，∴y＜2x＜24，即：24﹣2x＜2x＜24，解得：6＜x＜12．故选C．点评： 此题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；由于腰和底边长都没有明确取值范围，因此要联合等腰三角形的周长来求解，难度稍大．　二．填空题8．（2015•广元）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为　12　cm． 9．（2015•南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=　52　度． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网分析： 设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．解答： 解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．点评： 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．　10．（2015•广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD=　25°　． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网分析： 根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可．解答： 解：∵AB=AC，D是BC边的中点，∴∠BAD==25°．故答案为：25°点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠BAD=．　11．（2015•邯郸二模）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=　72　度． 考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．21世纪教育网分析： 把图展开后，可知AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得∠B的度数．解答： 解：如图：由题意知：AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，∵∠C=∠BDC=2∠A，∠A+2∠C=180°，∴5∠A=180°，即∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．故填：72°．点评： 本题考查了等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．　12．（2015•河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　9　． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网专题： 压轴题．分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答： 解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故答案为：9．点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．　三．解答题13．（2015•宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D． 考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．21世纪教育网专题： 证明题．分析： 首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．解答： 证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．点评： （1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．　14．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网专题： 证明题．分析： 根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．解答： 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．点评： 考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．　15．（2015春•黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网专题： 分类讨论．分析： 分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14．解答： 解：设三角形的腰AB=AC=x若AB+AD=24cm，则：x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54（cm）所以三边长分别为16cm，16cm，22cm；若AB+AD=30cm，则：x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54（cm）∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．点评： 主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．　16．（2015春•滕州市校级期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC． 考点： 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．21世纪教育网专题： 证明题．分析： 延长AO交BC于点D，先证出△ABO≌△ACO，得出∠BAO=∠CAO，再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可．解答： 证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质，关键是找出全等三角形．　17．（2014秋•海南校级期末）在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　15°　（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　20°　（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　∠EDC=∠BAD　（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网分析： （1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°．（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．解答： 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°． （2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°． （3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）