人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数第3课时同步测试题

2022-2023学年度人教版九年级数学章节培优训练试卷

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第二十二章　二次函数

22.3　实际问题与二次函数

第3课时　实物抛物线问题

一、选择题

1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为(　　)

A.y=x2　　B.y=-x2　　C.y=x2　　D.y=-x2

2. 如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC=(　　)

A.7　　B.8　　C.9　　D.10

3. 如图,从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面 m,则水流落地点B离墙的距离OB是(　　)

A.2 m　　B.3 m　　C.4 m　　D.5 m

4. 如图,抛物线型的拱门的地面宽度为20米,两侧离地面15米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为10米,则拱门的最大高度为(　　)

A.10米　　B.15米　　C.20米　　D.30米

5.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中点M 5米的地方,桥的高度是(　　)

A.12米　　B.13米　　C.14米　　D.15米

6.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0 m/s;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是(　　)

A.①④　　B.①②　　C.②③④　　D.②③

7.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则下列判断正确的是(　　)

A.球不会过球网

B.球会过球网但不会出界

C.球会过球网并会出界

D.无法确定球能否过球网

二、填空题

8.如图,高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式,跳跃路线是一条抛物线,他跳跃的高度y(单位:m)与跳跃时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-x2+x+,那么他能跳过的最大高度为　　　m. 

9.如图是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状的,抛物线两端点与水面的距离都是1米,拱桥的跨度为10米,桥洞与水面的最大距离是5米,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯.两盏景观灯之间的水平距离为　　　　米. 

10.如图所示,从O点正上方2 m的点A处向右上方抛一个小球P,小球运动的路线呈抛物线形状,该抛物线为L,小球与O点的水平距离为

2 m时达到最大高度6 m,然后落在下方台阶上弹起,已知MN=4 m,FM=DE=BC=1.2 m,ON=CD=EF=1 m,若小球弹起后的运动路线是一条与L形状相同的抛物线,且落点Q与B,D在同一直线上,则小球弹起后的最大高度是　　　　m. 

三、解答题

11.如图,一名垒球运动员进行投球训练,站在点O处开始投球,球出手的高度是2米,球运动的轨迹是抛物线,当球达到最高点E时,水平距离EG=20米,与地面的高度EF=6米,掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置,AB=3米.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)求点O到训练墙AB的距离(OA的长度).

12.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度为4 m,跨度为12 m.现将它放在如图所示的直角坐标系中.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)一艘宽为4米,高出水面3米的货船能否从此桥洞通过?

13.某篮球队员的一次投篮命中,篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分,表示篮球距地面的高度y(单位:m)与行进的水平距离x(单位:m)之间关系的图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5 m,篮筐距地面的高度为3.05 m,当篮球行进的水平距离为3 m时,篮球距地面的高度达到最大,为3.3 m.

(1)图中点B表示篮筐,其坐标为　　　　,篮球行进的最高点C的坐标为　　　　; 

(2)求篮球出手时距地面的高度.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　B　设抛物线的表达式为y=ax2(a≠0),将B(45,-78)代入得-78=a×452,解得a=-,故此抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2.故选B.

2.答案　C　由题意得14=x2+5,解得x=±,∴A,C,

∴AC=-=9,故选C.

3.答案　B　如图,建立平面直角坐标系,则抛物线的顶点M的坐标为,A点坐标为(0,10).设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+,将A(0,10)代入得10=a+,解得a=-.∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+.当y=0时,0=-(x-1)2+,解得x1=-1(舍去),x2=3.∴OB=3 m.故选B.

4.答案　C　如图所示,以线段CD所在直线为x轴,线段CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,此时,抛物线与 x 轴的交点为 C(-10,0),D(10,0),设这条抛物线的解析式为 y=a(x-10)·(x+10),∵抛物线经过点 B(5,15),∴15=a(5-10)×(5+10),解得a=-,∴y=-(x-10)(x+10)=-x2+20,∴当x=0时,y取得最大值,此时y=20,即拱门的最大高度是20米.故选C.

5. 答案　D　如图,以M为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,∵桥的最大高度是16米,跨度是40米,∴C(0,16),A(-20,0),B(20,0),设抛物线解析式为y=ax2+16,将A(-20,0)代入得0=400a+16,解得a=-,∴抛物线解析式为y=-x2+16,当x=5时,y=-×52+16=-1+16=15,∴在线段AB上离中点M 5米的地方,桥的高度是15米.

6. 答案　D　①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m,经过的路程是40×2=80(m),故①错误;②小球抛出3秒后开始下降,速度越来越快,故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点,速度为0 m/s,故③正确;④设函数解析式为h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得a=-,∴函数解析式为h=-(t-3)2+40,把h=30代入解析式,得30=-(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5,∴小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故④错误.故选D.

7. 答案　C　∵球与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,

∴抛物线为y=a(x-6)2+2.6.

∵抛物线y=a(x-6)2+2.6过点(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-,故y与x的关系式为y=-(x-6)2+2.6,当x=9时,y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能过球网;当y=0时,-(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2>18,x2=6-2(舍去),故会出界.

二、填空题

8.答案　

解析　∵y=-x2+x+=-(x-1)2+,∴他能跳过的最大高度为m.

9.答案　5

解析　建立平面直角坐标系如图所示,则抛物线的顶点坐标为(5,5),且经过点(0,1),设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+5(a≠0),把点(0,1)代入得1=a(0-5)2+5,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-5)2+5.令y=4,可解得x1=,x2=,∴两盏景观灯之间的水平距离是-=5米.

10.答案　

解析　建立平面直角坐标系如图所示,

则A(0,2),B(4.6,2),C(3.4,2),D(3.4,3),抛物线L的顶点为(2,6).设抛物线L的解析式为y=a(x-2)2+6,

把点A(0,2)代入得,4a+6=2,解得a=-1.

∵抛物线L的对称轴为直线x=2,

∴点A关于该对称轴的对称点为(4,2),

∴小球落在BC上.设直线BD的解析式为y=kx+b,

∴解得

∴直线BD的解析式为y=-x+,令y=0,则x=7,

∴Q(7,0).

∵小球弹起后的运动路线是一条与L形状相同的抛物线,

∴设弹起后的抛物线的解析式为y=-x2+mx+n,

把(4,2),(7,0)代入得解得

∴弹起后的抛物线的解析式为y=-x2+x-=-+,

∴小球弹起后的最大高度为 m.

三、解答题

11.解析　(1)由题意得,E(20,6)和C(0,2),

设抛物线的函数关系式为y=a(x-20)2+6,

∴2=a(0-20)2+6,

解得a=-0.01,

∴抛物线的函数关系式为y=-0.01(x-20)2+6.

(2)当y=3时,3=-0.01(x-20)2+6,

解得x1=20+10,x2=20-10(舍去).

答:点O到训练墙AB的距离(OA的长度)为(20+10)米.

12.解析　(1)由图象可知抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),

设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4,

则0=a(12-6)2+4,解得a=-,

即这条抛物线的解析式为y=-(x-6)2+4.

(2)当x=×(12-4)=4时,y=-×(4-6)2+4=>3,∴货船能通过此桥洞.

13.解析　(1)(4.5,3.05);(3,3.3).

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+3.3,

把B(4.5,3.05)代入得,3.05=a(4.5-3)2+3.3,

解得a=-,

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+3.3,

当x=0时,y=2.3.

答:篮球出手时距地面的高度为2.3米.