初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试随堂练习题

七年级数学上册单元测试

第一章                 有理数（能力卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．2020年10月份某日一天的温差为11℃，最高气温为9℃，则最低气温可表示为（  ）

A．（－2）℃ B．2℃ C．0℃ D．（－11）℃

【解析】

解：最低气温可表示为：

，故A正确．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键．

2．x是整数，所有整数的和是                            （    ）

A．0 B．3 C．5 D．6

【解析】

解：的所有整数为：0，1，2，

则，故B正确．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了有理数的加法运算，找出的所有整数，是解题的关键．

3．下列算式中，运算结果为负数的是                            （   ）

A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣） D．﹣2×0

【解析】

解：∵ = -1，是负数，

∴A符合题意；

∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正数，

∴B不符合题意；

∵﹣（﹣）=，是正数，

∴C不符合题意；

∵﹣2×0=0，既不是正数，也不是负数，

∴D不符合题意；

故选:A．

【点睛】

本题考查了有理数的运算，负数，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．

4．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．2或6

【解析】

解：∵，，

∴，，

∵的绝对值与相反数相等，

∴＜0，

∴，，

或，

故选：C．

【点睛】

本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值．

5．在中，负数的个数有                     （   ）

A．个 B．个 C．个 D．

【解析】

解：∵-（-5）=5，-|+3|=-3

∴中负数有，-10，-|+3|，共3个．

故选：B．

【点睛】

本题考查了负数的定义、去括号和绝对值的相关知识，灵活应用相关知识是解答本题的关键．

6．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为．则与相等的数是                                                     （   ）

A． B． C． D．

【解析】

∵,

∴，

∴，

∵，

∴．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴的定义和表示数的方法，绝对值的几何意义和计算方法，是解决此类问题的关键．

7．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是                                                         （   ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【解析】

解：由题意可知，，，，，，，，，，

即末位数字是每4个算式是一个周期，

末位分别为2，4，8，6，

，

的末位数字与的末位数字相同，为2；

由题意可知，，，，，，，

以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，

，

所以的个位数字是7，

所以的个位数字是9，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题的关键．

8．的最小值是                         （    ）

A．1 B．1010 C．1021110 D．2020

【解析】

解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；

所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；

当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…

当x=1011时，|x-1011|有最小值0．

综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，

最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|

=1010+1009+…+0+1+2+…+1010

=1011×1010

=1021110．

故选：C．

【点睛】

本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．

二、填空题（每题3分，共24分）

9．写出比大的两个负整数_____________．

【解析】

解：比-5大的两个负整数-4，-3．

故答案为：-4，-3(答案不唯一)．

【点睛】

本题考查了有理数大小比较，注意负数比较大小，绝对值大的数反而小．

10．化简 ＝________．

【解析】

解：，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是这个数的相反数，是解题的关键．

11．在数轴上，点A表示数﹣2，点B到点A的距离为3，则点B表示的数是_______．

【解析】

设该点表示的数为x，则|x-(-2)|＝3，

整理得：x+2=3

解得x＝1或-5，

故答案为： 1或-5．

【点睛】

本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

12．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1 410 000 000人，将数据1 410 000 000用科学记数法表示为_________．

【解析】

解：，

故答案是：．

【点睛】

此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

13．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是________立方厘米．（取3.14）

【解析】

解：，

故答案为：．

【点睛】

此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键．

14．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．

【解析】

∵|a|=3，|b|=4，

∴a=±3，b=±4，

∵a、b异号，

∴当a=3时，b=-4，；

当a=-3时，b=4，.

故答案为1

【点睛】

本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．

15．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出___________根细面条．

【解析】

第一次捏合，拉出2根细面条；

第二次捏合，拉出2×2=22根细面条；

第三次捏合，拉出2×2×2=23根细面条；

……

第n次捏合，拉出2n根细面条；

第十次捏合，拉出210=1024根细面条．

故答案为：1024．

【点睛】

本题主要考查有理数的乘方的应用，找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系是解题关键．

16．已知等式：，，，…，（， 均为正整数），则 ___．

【解析】

解：由已知代数式可归纳出（n为正整数），

令n=10，则b=102-1=99，a=10

∴a+b=10+99=109．

故答案为109．

【点睛】

本题考查数字类规律探索，根据已有等式总结出是解答本题的关键．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．计算：

(1)；

(2)．

【解析】

 (1)解：

=

=

=-7+8

=1．

(2)解：

=

=

=25．

【点睛】

本题主要考查了有理数的加减混合运算、乘法结合律等知识点，灵活应用相关运算法则和运算律成为解答本题的关键．

18．计算：．

【解析】

原式

【点睛】

此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

19．把下列各数分别填在相应的集合内：

，，，，，，，，．

(1)正数集合：{                    …}；

(2)负数集合：{                    …}；

(3)整数集合：{                    …}．

【解析】

 (1)解：正数集合：

故答案为：，，，，

(2)负数集合：

故答案为：，，

(3)整数集合：

故答案为：，，

【点睛】

本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键．

20．如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．

(1)根据上述规定，填空：（2，8）＝_______，（2，）＝_______；

(2)若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．

【解析】

 (1)解：因为23＝8，

所以（2，8）＝3；

因为2﹣2＝，

所以（2，）＝﹣2．

故答案为：3，﹣2；

(2)解：根据题意得a＝42＝16，b3＝8，

所以b＝2，

所以（b，a）＝（2，16），

因为24＝16，

所以（2，16）＝4．

答：（b，a）的值为4．

【点睛】

本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，考核学生的运算能力，熟悉乘方运算是解题的关键．

21．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-9，+8，-7，+14，-6，+13，-5．

(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？

(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28.5升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？

【答案】(1)B地在A地的东边23千米

(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油

(3)最远处离出发点28千米

【解析】

 (1)解：∵15-9+8-7+14-6+13-5=23（千米），

答：B地在A地的东边23千米；

(2)解：这一天走的总路程为：15+|-9|+8+|-7|+14+|-6|+13|+|-5|=77（千米），

应耗油77×0.5=38.5（升），

故还需补充的油量为：38.5-28.5=10（升），

答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油；

(3)解：∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：

15千米；15-9=6（千米）；6+8=14（千米）；14-7=7（千米）；7+14=21（千米）；21-6=15（千米）；15+13=28（千米）；28-5=23（千米），

∴最远处离出发点28千米．

【点睛】

本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则．

22．淇淇在计算：时，步骤如下：

解：原式①

             ②

             ③

(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）

(2)请给出正确的解题过程．

【解析】

 (1)解：由题意可知：

；

故开始出现错误的步骤是①，

(2)解：，

，

，

．

【点睛】

本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算．

23．阅读下面的文字回答后面的问题：求的值

解：令①

将等式两边同时乘以5到：②

②-①得：

∴即

问题：求的值；

【解析】

解：令①

将等式两边同时乘以2到：②

②-①得：

∴，即．

【点睛】

本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意，根据题目方法步骤进行求解是解题的关键．

24．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）；

(1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了?请说明理由；

(2)根据实际情况，现有两种方案：

方案一：运进每吨冷冻食品费用200元，运出每吨冷冻食品费用400元；

方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是300元．从节约运费的角度考虑，选择哪一种方案比较合算?

【解析】

 (1)解：

（吨），

因为是负数，表示运出，

所以这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是减少了．

(2)解：运进的总质量为（吨），

运出的总质量为（吨），

方案一：总费用为（元），

方案二：（元），

因为，

所以从节约运费的角度考虑，选择方案二比较合算．

【点睛】

本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，正确列出各运算式子是解题关键．

25．已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．

（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为        ，点Q对应的数为        ；P、Q两点间的距离为        ．

（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为        ．

（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．

【解析】

解：（1）由题意可得当t＝5秒时，

数轴上点P对应的数为：，

点Q对应的数为：，

P、Q两点间的距离为：，

故答案为：－5, －11；     6．

（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．

故答案为：－10＋t．

（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；

当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；   

当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．

【点睛】

本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.