高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.1空间向量及其运算同步训练题

6.1空间向量及其运算苏教版（   2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则(    )

A.   B.
C.  D.

2. 如图，在平行六面体底面为平行四边形的四棱柱中，为延长线上一点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知，，三点不共线，对空间内任意一点，若，则，，，四点(    )

A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断是否共面

4. 如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知在矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则(    )

A.  B.   C.    D.

7.  若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点(    )

A. 不共面 B. 共面 C. 共线 D. 不共线

8. 已知空间任意一点和不共线的三点，，若，则“，，”是“，，，四点共面”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列命题中，正确的命题有(    )

A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

10. 给出下列命题，其中正确的命题是(    )

A. 若，则是钝角
B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量
C. 若，则可知
D. 在四面体中，若，，则

11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是(    )

A.  B.
C. 向量与的夹角 D. 与所成角的余弦值为

12. 在以下命题中，不正确的命题有(    )

A. 若与共线，与共线，则与共线
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若两个非零空间向量，满足，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 三棱柱中，、分别是、上的点，且，设，，试用表示向量          ．

14. 在空间四边形中，连接，若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为          ．
15. 已知空间向量，，，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是          ．
16. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点．
    用向量，，表示，；
    若，求实数，，的值．

18. 本小题分

如下图，已知平行六面体求证：．

19. 本小题分
    如图所示，在正方体中，点在上，且，点在对角线上，且设，，，
    
    ，求，，的值．

求证：，，三点共线．

20. 本小题分
    如图所示，在平行六面体中，，，，，．
    
    求的长；
    求与的夹角的余弦值．
21. 本小题分
    如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
    
    试用，，表示向量；
    若，，，求的长．
22. 本小题分
    如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且若，，，四点共面，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性运算问题，属于中档题．
根据题意画出图形，结合图形利用空间向量的线性运算用、和表示出即可．

【解答】

解：如图所示，

已知空间四边形中，，，，
则
．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属于中档题目．
取的靠近点的三等分点，连接，则四边形是平行四边形，；用、和表示出即可．

【解答】

解：如图所示，取的靠近点的三等分点，连接，

则，且由可知，
四边形是平行四边形，
，且，
；
又，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考察空间向量共面问题，属于基础题．
根据空间向量线性运算，进而判断即可．

【解答】

解：因为，
所以，
，
，即．
故，，，四点共面，故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二面角及空间中两点间的距离，空间向量的加减运算及数量积，属于中档题．
由已知可得，利用数量积的性质即可得出． 

【解答】

解：，，
， 
又二面角的大小为，线段分别在这个二面角的两个半平面内，
，，，．
，
．
．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积及运算律，属于中档题．

【解答】

解：过点，分别向作垂线，垂足分别为，，易得，，，，因为，所以 ，所以．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的模长，属于中档题．
根据计算可得答案．

【解答】

解：过点，分别向作垂线，垂足分别为，，

因为平面与平面垂直，平面平面，
又平面，则垂直平面，
又平面，则垂直，
易得，，，，，
因为，
所以
，
所以．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间共线与共面向量定理及应用，空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
由题意运算可得，可得，，共面，但不共线，可得结论．

【解答】

解：由已知可得，
即，
可得，
所以，，共面，但不共线，故，，，四点共面．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．

【解答】

解：当，，时，，
则，
即，
根据向量共面定理知，，，，四点共面．
反之，当，，，四点共面时，根据共面向量定理，
设，
即，
即，
即，，，这组数显然不止，，．
故“，，”是“，，，四点共面”的充分不必要条件故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查空间向量的共线、共面定理及空间向量基本定理，属于中档题．
根据空间向量基本定理逐个判断即可．

【解答】

解：对，向量、同向时，，
只满足充分性，不满足必要性，A错误；
对，应该为非零向量，故B错误；
对，由于，而，
根据共面向量定理知，，，，四点共面，故C正确；
对，若为空间的一个基底，则，，不共面，
由基底的定义可知，，，不共面，
则构成空间的另一个基底，故D正确．
故选 CD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的向量积及线性运算，属于中档题．
以数量积判断，以直线方向向量概念判断，经向量线性运算判断．

【解答】

解：对于，当时，若，但，，不是钝角，所以错；
对于，当时，，不是直线的方向向量，所以错；
对于，
，所以对；
对于，因为，，
所以，
即，
即，
即，
即，即，
即，即，所以对．
故选CD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的线性、数量积运算，考查了平行六面体的性质，属于中档题．
利用平行六面体的性质，空间向量的线性、数量积运算判定即可．

【解答】

解：以顶点为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，可设棱长为，
则，
对于，
，
而，所以A正确；
对于，，所以B正确；
对于，向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，所以不正确；
又，，则，，
，所以，所以不正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查空间向量的共线、共面向量定理，属于中档题．
根据空间向量的共线、共面向量定理逐个判断正误，即可得到答案．

【解答】

解：对，若时，与不一定共线，故A错误；
对，若 ， ，则 ，
但不存在实数 ，使得 ，选项错误；
对，对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，

若、、、四点共面，可设，其中、，

则，可得，

由于，，
此时，、、、四点共面，故C正确；
对于，若两个非零空间向量，，满足，
则，所以，故D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，属于中档题．
作出如图的图象，把三个向量，，看作是基向量，由向量的线性运算将用三个基向量表示出来，再用，，表示，即可得到答案．

【解答】

解：由题意得 
，
又，，，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考察空间向量线性运算，属于基础题．
结合空间向量运算规律，即可求解．

【解答】

解：如图，取的中点，连接，则，故．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量的数量积研究向量的夹角问题，属于一般题．

【解答】

解：由题意知

即

则

解得．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
设，则根据空间向量的线性运算可得，由，，，四点共面，可得各系数相加值为，求解即可．

【解答】

解：设，
由已知，
所以，因为，，，四点共面，
所以，解得．
故答案为．

17.【答案】解：，
，
，，． 

【解析】本题考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
，，进而得到答案；
，结合，可得实数，，的值．
 

18.【答案】证明：平行六面体的六个面均为平行四边形，

，

．

又，，

，

．
故得证．

【解析】本题考查空间向量的加减运算及相等向量，考查空间想象能力，属于中档题．

根据空间向量的加法运算法则求解即可．

19.【答案】解：因为，
所以，

所以
，

，
则，，．

证明：，所以，所以，
由知，，

所以
，

又
，

所以，
又因为与有公共点，
所以，，三点共线．

【解析】本题考查了空间向量的加减运算以及数乘运算，考查学生转化能力与推理能力，属于中档题．
利用空间向量加减运算得到求出，即可求出，，的值．
利用以及向量加减运算求出，然后由共线向量证明点共线即可．
 

20.【答案】解  ，
．
设与的夹角为，
设，，，
依题意得
，
，
． 

【解析】本题考查空间向量的线性运算，向量加法的三角形法则，以及向量的夹角的计算，属中档题．
由向量加法的三角形法则得，再根据向量的求模公式求得的长；
求得向量与的数量积和模，根据向量夹角公式求得两向量的夹角余弦值．
 

21.【答案】解：在三棱柱中，，，

，，
由，，，

；

由可知，
又，，，
则，
则
，
，
．
即的长为．

【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用，属于中档题．
由已知条件可得，，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出即可；
求的长，即求，利用求向量模的方法，求出，即可求得的长．
 

22.【答案】解：连接图略．
，，．
，．
，，．
又，．
，，
又，．
，，，四点共面，，解得． 

【解析】本题考查的知识点是四点共面问题，将空间问题转化为平面问题，是解答的关键．
若，，，四点共面，则即为与平面的交点，连接，交于点，连接，则即为与的交点，取的中点，连接，结合三角形的中位线定理，可得答案．