2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级(上)期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级(上)期末数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，如图，线段，相交于点，等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是　　
A．对称轴是直线，最小值是2
B．对称轴是直线，最大值是2
C．对称轴是直线，最小值是2
D．对称轴是直线，最大值是2
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，是的外接圆，连接、，，则的度数为　　

A． B． C． D．
5．（3分）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　

A．8 B．6 C．12 D．10
6．（3分）如果反比例函数是常数）的图象所在的每一个象限内，随增大而减小，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）如图，，则在图中下列关系式一定成立的是　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，线段，相交于点，．若，，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是　　
A． B． C． D．
10．（3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共l8分．把答案填在答题卡的对应位置的横线上．）
11．（3分）已知关于的方程的一个根是，则　 　；另一根为　 　．
12．（3分）抛物线与轴有交点，则的取值范围是 　　．
13．（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是 　　．

14．（3分）如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为4，则等于 　　．

15．（3分）在平面直角坐标系中， 已知点，，以原点为位似中心， 相似比为，把缩小， 则点的对应点的坐标是　　．
16．（3分）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于，两点，过点作的切线交于点．若，，则的长是 　　．

三．解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）解方程：．
18．（6分）如图，在中，，，．求的长．

19．（6分）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
20．（7分）如图，是的直径，，是上两点，，与相交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．

21．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于，两点．
（1）　　，　　，　　；
（2）比较大小：　　（填“”或“”或“” ；
（3）关于的不等式的解集是 　　．

22．（8分）如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求图中阴影部分的面积．

23．（10分）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长，另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元，垂直于墙的边的费用为15元，设平行于墙的边长为．
（1）设垂直于墙的一边长为，直接写出与之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为，求与的函数关系式，并求出当时的值；
（3）小明计算出菜园的最大面积是，小明计算的对吗？请说明理由．

24．（10分）如图1，点是中边上一点，，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）将图1中的绕点顺时针旋转得到，的对应边经过点（如图2所示），若，求线段的长．

25．（12分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交于点，交轴于点，交抛物线于点，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段长度的最大值；
（3）过点作于点，当时，求的长．


2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：、是二元二次方程，不合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、不是整式方程，不合题意；
、是二元一次方程，不合题意，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．（3分）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是　　
A．对称轴是直线，最小值是2
B．对称轴是直线，最大值是2
C．对称轴是直线，最小值是2
D．对称轴是直线，最大值是2
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：由抛物线的解析式：，
可知：对称轴，
开口方向向下，所以有最大值，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）如图，是的外接圆，连接、，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理求得的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
5．（3分）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　

A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得，，，则可求得答案．
【解答】解：
、分别切于点、，切于点，
，，，
，
即的周长为12，
故选：．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得、和是解题的关键．
6．（3分）如果反比例函数是常数）的图象所在的每一个象限内，随增大而减小，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．
【解答】解：反比例函数是常数）的图象所在的每一个象限内，随增大而减小，
，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
7．（3分）如图，，则在图中下列关系式一定成立的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即可得出正确答案．
【解答】解：，
，，，；
故选：．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出有关比例线段．
8．（3分）如图，线段，相交于点，．若，，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，，进而可得出，再利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长，此题得解．
【解答】解：，
，，
，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
9．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是　　
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．（3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】本题只有一个待定系数，且，根据和分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．
【解答】解：当时，函数的图象开口向上，但当时，，故不可能；
当时，函数的图象开口向下，但当时，，故、不可能．
可能的是．
故选：．
【点评】讨论当时和时的两种情况，用了分类讨论的思想．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共l8分．把答案填在答题卡的对应位置的横线上．）
11．（3分）已知关于的方程的一个根是，则　2　；另一根为　 　．
【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程来求的值；然后利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：依题意，得
，
解得，．
设方程的另一根为，则，
解得．
故答案是：2；．
【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和根与系数的关系．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（3分）抛物线与轴有交点，则的取值范围是 　　．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．△决定抛物线与轴的交点个数．
13．（3分）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是 　　．

【分析】根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可．
【解答】解：根据旋转的性质可知，
，，
．
．
故答案为．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段．
14．（3分）如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形的面积为4，则等于 　　．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积是个定值，再由反比例的函数图象所在象限确定出的值．
【解答】解：因为反比例函数，且矩形的面积为4，
所以，即，
又反比例函数的图象在第二象限内，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
15．（3分）在平面直角坐标系中， 已知点，，以原点为位似中心， 相似比为，把缩小， 则点的对应点的坐标是　或　．
【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案 ．
【解答】解：顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形△，
点的坐标是：，，，，
即或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质， 根据如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键 ．
16．（3分）如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于，两点，过点作的切线交于点．若，，则的长是 　　．

【分析】连接，，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接，，
，为的中点，，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，，
，
是的切线，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）解方程：．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）如图，在中，，，．求的长．

【分析】根据已知可得，由对应边成比例可得，进而可得的长．
【解答】解：，，
．
．
，，
．
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，能根据已知条件得到是解题关键．
19．（6分）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【分析】设共有家公司参加商品交易会，就可以得出有份合同，根据总共有45份合同建立方程组，求出其解即可．
【解答】解：设共有家公司参加商品交易会，由题意，得
，
解得：，（舍去）．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环问题的数量关系建立方程是关键．
20．（7分）如图，是的直径，，是上两点，，与相交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由圆周角定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，角的和差求出的度数为；
（2）由为直径推出，再由勾股定理求出．由，，推出，根据中位线定理得出．所以．
【解答】解：（1）连接．
，
，
，
，
；
（2）是的直径，
，，
．
，，
，
．
．

【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，线段的和差，圆周角定理，角的和差，勾股定理等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质．
21．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于，两点．
（1）　1　，　　，　　；
（2）比较大小：　　（填“”或“”或“” ；
（3）关于的不等式的解集是 　　．

【分析】（1）将点，代入，即可求得、，然后利用待定系数法即可求得；
（2）由两点间的距离公式求得、的长，即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）将点，代入，并解得：，，
，，
反比例函数的图象过，
；
故答案为：1，1，4；
（2）直线为，
当时，，
，
当时，，
，
，，
，，
，
故答案为：；
（3）关于的不等式的解集是或；
故答案为：或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，两点间的距离公式，数形结合是解题的关键．
22．（8分）如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接，可以证得，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到，即，即可证得是的切线；
（2）根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接．
是的切线，是的直径，
，
于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：于点，
，
，是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
在中，，
．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长，另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元，垂直于墙的边的费用为15元，设平行于墙的边长为．
（1）设垂直于墙的一边长为，直接写出与之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为，求与的函数关系式，并求出当时的值；
（3）小明计算出菜园的最大面积是，小明计算的对吗？请说明理由．

【分析】（1）根据“垂直于墙的长度”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知，，
故与之间的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
当时，，
解这个方程，得，，
，
当时，；
（3）小明计算的不对，
理由：，
，
当时，随的增大而增大．
当时，最大，此时．
小明计算的不对．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．
24．（10分）如图1，点是中边上一点，，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）将图1中的绕点顺时针旋转得到，的对应边经过点（如图2所示），若，求线段的长．

【分析】（1）先判断出，即可得出结论；
（2）判断出，得出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，再用求出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
．
．

（2）解：，
．
又，
．
．
，，
．

（3）解：绕点顺时针旋转得到，
，．
，
．
．
，
．
．

，
．
，
在中，．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
25．（12分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交于点，交轴于点，交抛物线于点，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段长度的最大值；
（3）过点作于点，当时，求的长．

【分析】（1）把，坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，求出点坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，设，则，然后求出，根据函数性质求最值；
（3）当时，，，可得，证明，有，可得，求解符合要求的的值，进而可得、、的值，在中，由勾股定理得，解得的值，由，，可证，有，计算求解即．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为2，
线段长度的最大值为2；
（3）如图：

当时，．
，
，
，
，
，
即，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，，
，
，，
，
，

的长为．
【点评】本题考查了二次函数解析式、最值，二次函数与线段综合，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识灵活运用．