第23-25章（旋转、圆、概率初步）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）

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第23-25章（旋转、圆、概率初步）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）
一．垂径定理（共2小题）
1．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
2．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　 　厘米．

二．圆周角定理（共1小题）
3．（2020•泸州）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
三．圆内接四边形的性质（共1小题）
4．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
四．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．

五．切线的性质（共4小题）
6．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
7．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
8．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

9．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

六．正多边形和圆（共1小题）
10．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（　　）

A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）
七．扇形面积的计算（共1小题）
11．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
八．圆柱的计算（共1小题）
12．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（　　）

A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
九．旋转的性质（共2小题）
13．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝4，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，则AA′＝（　　）

A． B．2 C． D．
14．（2021•绵阳）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

一十．中心对称图形（共2小题）
15．（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
16．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
一十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
17．（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　 　．
一十二．概率公式（共1小题）
18．（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　 　．
一十三．列表法与树状图法（共8小题）
19．（2020•绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
20．（2022•绵阳）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
22．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　 　人，m＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　 　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　 　．
23．（2021•绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

24．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
25．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　 　，a＝　 　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

26．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．

第23-25章（旋转、圆、概率初步）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川绵阳、自贡、泸州）
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共2小题）
1．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
2．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　26　厘米．

【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
二．圆周角定理（共1小题）
3．（2020•泸州）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
【解答】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：C．
三．圆内接四边形的性质（共1小题）
4．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．

四．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　2+1　．

【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．

五．切线的性质（共4小题）
6．（2021•泸州）如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．

∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH＝＝＝6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y＝﹣x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，
由，解得，
∴F（，﹣），
∴BF＝＝，
解法二：设DH交OC于G，利用△OBF∽△GDF求解即可．

故选：A．
7．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
【解答】解：方法一：如图，∵PT与⊙O相切于点T，
∴∠OTP＝90°，
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝OP＝×10＝5，
∴PT＝＝＝5．
故选：A．
方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，
∴PT＝OP•cos30°＝10×＝5．
故选：A．

8．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴＝，
∴AC＝9，
∴AB＝＝3，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝，EH＝2，
如图，连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
∴EF＝﹣2．

9．（2021•泸州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝4，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
六．正多边形和圆（共1小题）
10．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（　　）

A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，
∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，
∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2，3），
故选：A．

七．扇形面积的计算（共1小题）
11．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．
∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．

∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．
∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．
∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPD＝＝＝．
当m＝时，S的最大值为：．
故选：A．
八．圆柱的计算（共1小题）
12．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（　　）

A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：＝0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．
故选：A．
九．旋转的性质（共2小题）
13．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝4，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，则AA′＝（　　）

A． B．2 C． D．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
则BE＝AD＝4，DE＝7，
设B′C＝BC＝x，
则DC＝x，
∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝49+（x﹣4）2，
解得：x＝5（负值舍去），
∴BC＝5，AC＝，
在AB上取一点F，使得BF＝BC＝5，连接DF，
则△DFC∽△CB′B，且相似比为：1，
∴AF＝7﹣5＝2，
∵AD＝4，
∴DF＝2，
∴BB′＝＝，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，
∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，
∴△A′CA∽△B′CB，
∴＝，
∴AA′＝×＝，
故选：A．

14．（2021•绵阳）如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN．
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；
（2）若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S．

【解答】解：（1）结论：点N在直线AB上，理由如下：

∵∠CMH＝∠B，∠CMH+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BMC＝90°，即CM⊥AB，
∴线段CM逆时针旋转90°落在直线BA上，
即点N在直线AB上，
（2）作CD⊥AB于点D，

∵MC＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MCN＝45°，
∵NC∥AB，
∴∠BMC＝45°，
∵BC＝6，∠B＝30°，
∴CD＝3，MC＝，
∴S＝MC2＝18，即以MC．MN为邻边的正方形面积为S＝18．
一十．中心对称图形（共2小题）
15．（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
16．（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
一十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
17．（2022•泸州）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为 　（2，﹣3）　．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，
∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
一十二．概率公式（共1小题）
18．（2021•泸州）不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是　　．
【解答】解：∵袋子中共有3+5+4＝12个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是＝，
故答案为：．
一十三．列表法与树状图法（共8小题）
19．（2020•绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为＝．
故选：A．
20．（2022•绵阳）某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画树状图如图所示，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为＝．
故选：A．
21．（2020•泸州）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了n辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）求n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油1L所行驶路程在12≤x＜12.5，14≤x＜14.5这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40，即n＝40，
B组的车辆为：40﹣2﹣16﹣12﹣2＝8（辆），
补全频数分布直方图如图：

（2）600×＝150（辆），
即估计耗油1L所行驶的路程低于13km的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行驶路程在12≤x＜12.5范围内的2辆车记为为A、B，行驶路程在14≤x＜14.5范围内的2辆车记为C、D，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为＝．
22．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　60　人，m＝　30　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　　．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，
则m＝30；
故答案为：60，30；
（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：

（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），
其中有一天是星期一的概率是；
小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，
∴其中有一天是星期三的概率为＝；
故答案为：，．
23．（2021•绵阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝　5　，b＝　0.4　，c＝　15　；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

【解答】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），
∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在90～100之间的人数为y，
则，
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，
共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．
24．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
【解答】解：（1）∵由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%，
∴样本容量为25÷25%＝100．
∵B等级的人数占比为35%，
∴B等级的人数为：100×35%＝35（人）．
∴D等级的人数：100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
（2）D等级的学生有：100×5%＝5（人）．
由题意列表如下：

由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，
∴恰好回访到一男一女的概率为＝．
（3）∵样本中A（优秀）的占比为35%，
∴可以估计该校2000名学生中的A（优秀）的占比为35%．
∴估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：2000×35%＝700（人）．
25．（2022•泸州）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t≤3
4
（1）m＝　80　，a＝　20　；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

【解答】解：（1）m＝12÷15%＝80，
a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20；
故答案为：80；20；
（2）640×＝160（人），
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
26．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：

（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．