第24-25章-圆、概率初步【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）

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第24-25章-圆、概率初步【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　 　厘米．

二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
2．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．

三．圆周角定理（共2小题）
3．（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．75°
4．（2017•自贡）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，则AD＝　 　．

四．圆内接四边形的性质（共1小题）
5．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
五．三角形的外接圆与外心（共2小题）
6．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）

A． B． C． D．
7．（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1＝∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．

六．切线的性质（共2小题）
8．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
9．（2017•自贡）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
七．扇形面积的计算（共1小题）
10．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
八．圆锥的计算（共3小题）
11．（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（　　）
A．12πcm2 B．26πcm2
C．πcm2 D．（4+16）πcm2
13．（2017•自贡）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是　 　；侧面展开扇形的圆心角是　 　．
九．随机事件（共1小题）
14．（2017•自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
一十．列表法与树状图法（共6小题）
15．（2016•自贡）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是　 　．

16．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
17．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
18．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　 　人，m＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　 　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　 　．
19．（2019•自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．
收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
　 　
80≤x＜90
17
90≤x＜100
　 　

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　 　．
20．（2017•自贡）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共　 　 人，a＝　 　，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
一十一．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　 　人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　 　．

第24-25章-圆、概率初步【人教版-中考真题】-九年级数学上学期期末复习培优练（四川自贡）
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　26　厘米．

【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
2．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．

【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；

（2）由（1）知＝，
∴AD＝BC，
∵＝，＝，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
三．圆周角定理（共2小题）
3．（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．75°
【解答】解：∵∠A＝45°，∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠AMD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故选：C．
4．（2017•自贡）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，则AD＝　4　．

【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠CBD，
∴＝＝，
∴＝，
∴AD＝CB，
∵∠BCD＝90°，
∴BC＝CD•tan60°＝•＝4，
∴AD＝BC＝4．
故答案为4．

四．圆内接四边形的性质（共1小题）
5．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．

五．三角形的外接圆与外心（共2小题）
6．（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵BD＝2R，
∴DC＝R，
∴BC＝R，
故选：D．

7．（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1＝∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．

【解答】证明：（1）∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠1＝∠BDA，
∴∠1＝∠BAD；

（2）连接BO，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCO+∠BCD＝180°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD＝180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线．

六．切线的性质（共2小题）
8．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（　　）
A．5 B．5 C．8 D．9
【解答】解：方法一：如图，∵PT与⊙O相切于点T，
∴∠OTP＝90°，
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝OP＝×10＝5，
∴PT＝＝＝5．
故选：A．
方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，
∴PT＝OP•cos30°＝10×＝5．
故选：A．

9．（2017•自贡）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°，
故选：B．
七．扇形面积的计算（共1小题）
10．（2021•自贡）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．
∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．

∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．
∴△OPQ≌△ODC，∠QOC＝∠POD＝45°．
∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPD＝＝＝．
当m＝时，S的最大值为：．
故选：A．
八．圆锥的计算（共3小题）
11．（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得，×2πR×l＝8π，
则R＝，
故选：A．
12．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（　　）
A．12πcm2 B．26πcm2
C．πcm2 D．（4+16）πcm2
【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长＝8πcm，底面面积＝16πcm2；由勾股定理得，母线长＝cm，
圆锥的侧面面积＝×8π×＝4πcm2，∴它的表面积＝16π+4π＝（4+16）πcm2，故选D．
13．（2017•自贡）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是　24πcm2　；侧面展开扇形的圆心角是　216°　．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开扇形的圆心角为n°；
∵圆锥的底面周长为2πr＝6πcm，
∴r＝3，
∵圆锥的高为4cm，
∴R＝＝5（cm），
∴圆锥的全面积＝底面积+侧面积＝π×32+×6π×5＝24π（cm2），
∵侧面展开扇形的弧长l＝底面周长＝6π＝，
∴n＝＝216，
即侧面展开扇形的圆心角是216°；
故答案为：24πcm2，216°．
九．随机事件（共1小题）
14．（2017•自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
一十．列表法与树状图法（共6小题）
15．（2016•自贡）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是　　．

【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是＝．
故答案为．
16．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：

（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．
17．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
【解答】解：（1）∵由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%，
∴样本容量为25÷25%＝100．
∵B等级的人数占比为35%，
∴B等级的人数为：100×35%＝35（人）．
∴D等级的人数：100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
（2）D等级的学生有：100×5%＝5（人）．
由题意列表如下：

由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，
∴恰好回访到一男一女的概率为＝．
（3）∵样本中A（优秀）的占比为35%，
∴可以估计该校2000名学生中的A（优秀）的占比为35%．
∴估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：2000×35%＝700（人）．
18．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　60　人，m＝　30　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　　．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，
则m＝30；
故答案为：60，30；
（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：

（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），
其中有一天是星期一的概率是；
小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，
∴其中有一天是星期三的概率为＝；
故答案为：，．
19．（2019•自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．
收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
　2　
80≤x＜90
17
90≤x＜100
　10　

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．
【解答】解：（1）补全图表如下：

（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；
（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，
所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，
故答案为：．
20．（2017•自贡）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共　300　 人，a＝　10　，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
【解答】解：（1）120÷40%＝300，
a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，
∴a＝10，
10%×300＝30，
故答案为：300，10；图形如下：

（2）2000×40%＝800（人），
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．
一十一．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　600　人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　　．
【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：40÷40%＝100
（2）爱好上网的人数所占百分比为10%
∴爱好上网人数为：100×10%＝10，
∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10＝30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，
∴估计爱好运动的学生人数为：1500×40%＝600
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为
故答案为：（1）100；（3）600；（4）