高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义综合训练题

第五章一元函数的导数及其应用

5.1　导数的概念及其意义

5.1.2　导数的概念及其几何意义

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　)

A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44

解析Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.

答案B

2.(2020江苏高二期末)函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为(　　)

A.1 B.2 C.π D.π2

解析平均变化率为=π.故选C.

答案C

3.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于 (　　)

A.- B. C.- D.

解析由导数的定义得

f'(x)=

=

==-x,

因此f'(a)=-a=,则a=-.

答案A

4.(2020宁夏育才中学高二期末)设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

解析∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,

∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3;

又k=f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.

答案A

5.(多选)曲线y=在点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标可能为(　　)

A.(3,3) B.(-3,-3)

C.(9,1) D.(1,9)

解析由导数定义得y'=-=-,若设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-=tan =-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).

答案AB

6.(2020安徽高二期末)已知f'(1)=-2,则=　　　　. 

解析∵f'(1)=-2,

∴

=-2=-2f'(1)=-2×(-2)=4.

答案4

7.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是　　　　　. 

解析因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),

所以斜率k=y'x=-1

=

=(Δx-4)=-4,

所以切线方程为y-6=-4(x+1),

即4x+y-2=0.

答案4x+y-2=0

8.利用导数的定义求函数f(x)=在x=2处的导数.

解∵Δy=-2,

=.

∴f'(2)=.

能力提升练

1.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则的值为(　　)

A.4 

B.4x

C.4+2(Δx)2 

D.4+2Δx

解析=4+2Δx.故选D.

答案D

2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)等于(　　)

A.2

B.3

C.4

D.5

解析易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f'(5)=-1.∴f(5)+f'(5)=3-1=2.

答案A

3.(多选)(2020广西高三期末)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是(　　)

解析单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.

答案ACD

4.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则=　　　　. 

解析由已知得f'(0)=-2,则f'(0)=-1.

答案-1

5.曲线f(x)=在x=2处的导数为　　　　,在点(-2,-1)处的切线方程为　　　　. 

解析f'(-2)=

==-,

∴切线方程为y+1=-(x+2),

即x+2y+4=0.

答案-　x+2y+4=0

6.(2019四川仁寿一中高二期中)如图,函数f(x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=　　　　　. 

解析∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,

∴f(2)=-4+5=1,

∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.故答案为-1.

答案-1

7.已知曲线y=x2,

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.

解(1)设切点为(x0,y0),

∵y'

==2x0,

∴y'x=1=2.

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.

(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'=2x0,

∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),

由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①

再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=,②

联立①,②得x0=1或x0=5.

从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,

此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,

当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,

此时切线方程为y-25=10(x-5),

即y=10x-25.

综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.

素养培优练

　已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.

解设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=

=3x2-4x.

由导数的几何意义,得k=f'(x0)=3-4x0=4,

解得x0=-或x0=2,

∴切点坐标为-或(2,3).

当切点为-时,有=4×-+a,

∴a=.

当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,

∴a=-5,

因此切点坐标为-或(2,3),

a的值为或-5.