2021-2022学年内蒙古包头市第四中学高二上学期期中考试数学试题含答案

包头市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试（数学）试题

一、选择题（ 每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案 ）

1．下列语句是命题的是（    ）

A．鹿晗很帅    B．请把手机收起来！    C．    D．

2．已知命题：，，那么是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．若直线过圆的圆心，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ）

A．外切 B．内切 C．相交 D．外离

5．已知“”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

6．曲线与曲线的（    ）

A．长轴长相等  B．短轴长相等

C．焦距相等                        D．离心率相等

7．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）

A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段

8．若点在双曲线的一条渐近线上，则它的离心率为（　　）

A． B． C． D．

9．椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ）

A．7 B．5 C． D．

10．已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为

A．3 B．4 C． D．

11．圆：关于直线对称的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )

A．3 B．2 C． D．

二、填空题（每小题5分，共 20分）

13．命题“若,则”的逆命题是______.

14．圆的圆心是抛物线的焦点，则__________．

15．直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________.

16．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，则实轴长为___________．

三、解答题（17题10分，18至22题每题12分）

17．已知点为圆的弦的中点.

（1）求弦所在的直线方程；

（2）求弦的长.

18．p：方程有两个不等的负实数根；q：方程无实数根，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围､

19．已知，，.

（1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且

.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第二象限，，求的面积．

21．已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.

22．已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点（均不是椭圆的右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

参考答案

一．CBDAD   DBCAA  BD

二．13．“若,则”   14．-4    15．   16.  6

17．（1）；（2）.

【详解】

解：（1）圆的圆心为，半径.

∴点P为弦的中点，，

∵直线的斜率为，

∴直线的斜率为1，

从而直线的方程为，即.

（2）∵，

∴，

∴.

18．

【详解】

：方程有两个不等的负实数根，解得，

：方程无实数根，解得，

所以：，：或.

因为为真命题，为假命题，所以真假，或假真.

（1）当真假时，即真为真，所以，解得；

（2）当假真时，即真为真，所以，解得.

综上，的取值范围为

19．（1）或；（2）.

【详解】

解：（1）当时，，

由，可得，即：.

与一真一假，分两种情况讨论：

若真假，则，该不等式组无解；

若假真，则，得或.

综上所述，实数的取值范围为或.

（2）由题意，：，，

因为是的充分不必要条件，故，

故（等号不能同时成立），得，

故实数的取值范围为.

20．（1）；（2）．

【详解】

（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，

则由已知得，，

所以，所以，

所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）在中，．

由余弦定理，得，

即，所以，

所以．

21．(1) 抛物线C的方程为：；(2) 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.

【详解】

(1)∵  M为抛物线C上一点，且，

∴M到抛物线C的准线的距离为4，

∴ 

∴ 

∴ ，

∴抛物线C的方程为：；

(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，

则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，

则，化简可得

联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，

由已知，为方程的解，

∴  ，，

∴  ，

∴   ，

∴  

∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.

22．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为．

【详解】

（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点落在椭圆的短轴的两个端点时的面积最大，此时，解得：．

由得：．

椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，直线的方程为，

联立得：，

则，即，

，．

．

椭圆的右顶点为，，，

，即，

．

整理可得：，

解得：，，（，均满足）．

当时，的方程为，直线过右顶点，与已知矛盾；

当时，的方程为，过定点，

直线过定点，定点坐标为．