人教B版 (2019)必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点教案设计

第三章 函数

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点教学设计

教材分析：

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.

教学目标：

1.经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法，培养数学建模、数学抽象等核心素养；

2.通过学习数学和应用数学，认识数学的科学价值、应用价值，体会数学在社会生活和生产实践中的应用，落实立德树人的根本任务，培养学生的社会责任感和使命感。

【教学目标】

能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题

【核心素养】

1.数学建模：会建立一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。

2.数学运算：会根据函数模型的应用的计算求解，求得结果.

3.数据分析：对所求的结果要进行检验，是否符合实际条件.

【教学重点】

1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、二次函数、分段函数、反比例函数等学过函数的差异，理解题中的现实含义。

3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

【教学难点】

1.读懂题目，构建正确的函数模型

课前准备

马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期.

教学过程

数学建模是连接数学和现实世界的桥梁。下面我们用实例来介绍，怎样从现实世界中发现问题，如何通过数学建模来求解特定的问题，并探讨怎样整理数学建模的结果.

一、建模过程描述与介绍

俗话说，“物以稀为贵”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高。例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低。这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入.不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大。针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？

当然，我们可以探讨的问题很多。例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等.类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的.

不过，上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述。

仍以苹果为例，设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元，上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大也就是说，如果y是x的函数并记作y=f（x）的话，f（x）是减函数。

同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C=g（t）的话，g（t）是一个增函数.

由于市面上苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x=h（t）.

从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即

z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）.

此时，如果f（x），g（t），h（t）都是已知的，则能得到z与t的具体关系式.有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？

怎样才能确定上述f（x），g（t），h（t）呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。

例如，为了简单起见，我们可以假设f（x）和g（t）都是一次函数，且

f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；

并假设h（t）是一个二次函数，且

h（t）=at2+bt+c.

则有

z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.

上述各参数可以通过收集实际数据来确定。例如，如果我们收集到了如下实际数据.

利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出

y=f（x）=-0.5x+5，

C=g（t）=0.01t+0.1，

x=h（t）=0.002t2-0.14t+9.6，

因此

z=-0.001t2+0.06t+0.1.

注意到上式可以改写成z=-0.001（t-30）2+1，所以此时在t=30时，z取最大值1.也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元。

这样一来，我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型，并通过有关数据进行了说明.

当然，实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差。因为我们假设f（x）和g（t）都是一次函数等就已经把问题进行了简化，如果条件容许的话，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式，这样也就能优化我们最终建立的模型.

以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程.由此可以看出，对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题.

在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。

一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定例如，图3-4-1、图3-4-2、图3-4-3所示都可以是数学建模论文的主题结构

当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息.

需要提醒的是，对于一些综合性比较大的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行.一般来说，一个数学建模小组由3-5人组成.理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学.

二、数学建模论文示例

国民收入、消费与投资的关系

1.发现问题、提出问题

在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容.

例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》（国发〔2016]53号）指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长。”

2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用。顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能。”

习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指的是收入增加。

那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？

2.分析问题、建立模型

要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系.

为了简单起见，可以做出以下假设：

（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；

（2）收入只用于投资和消费；

（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a.

值得注意的是，以上假设都是合理的。例如一个家庭的收入，一般面言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）。

由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为

Y=C+I，C=C0+aY.

在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的.

一此经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现。例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即C≤Y，因此aY<C0+aY≤Y，从而有a<1.

另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间[Y1，Y2]内的平均变化率均为

这表示收入每增加一个单位，消费将增加a个单位。因此，a通常称为边际消费倾向。

3.确定参数、计算求解（1）收入与消费的关系

为了探讨经济增长（即收入）与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即             ，其中C0与a均为参数。可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为       ，这表示消费每增加一个单位，收入将增加  个单位。

例如，当C0=10，a=  时，有           ，因此：

如果消费C=30，那么

如果消费C=35，那么

可以看到，消费增长5个单位时，收入增加了6.25个单位。

（2）收入与投资的关系

为了探讨经济增长（即收入）与投资的关系，可以将收入看成投资的函数，通过消去C求解Y可得              此时，C0与a均为参数可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为

这表示投资每增加1个单位，收入将增加     个单位.

例如，当C0=10，a=  时，有Y=5I+50，因此：

如果投资I=10，那么Y=5×10+50=100；

如果投资l=15，那么Y=5×15+50=125.

可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位。

4.验证结果、改进模型

从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加（这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）。而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快。事实上，当0<a<1时，可知  >1且     >1.

这就是说，平均变化率  和   都大于1.经济学上将这种现象称为乘数效应。

可以看出，凯恩斯静态模型 能够较好地描述收入、投资与消费的关系。

这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情兄可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手。

三、活动要求与提示

1.与其他同学一起讨论如下问题：

（1）从现实世界中发现问题并进行建模时，所发现的问题要具有什么特征时才方便使用数学知识加以解决？

（2）对同一个现象甚至同一组数据进行数学建模时，能否使用不同的数学对象进行描述？

2.参考数学建模论文示例，以“决定苹果的最佳出售时间点”为题，将“建模过程描述与介绍”中的有关内容整理成一篇数学建模论文。（提示：论文的主体结构可以不同于示例.）

3.按照优势互补的原则，跟其他同学组成一个数学建模小组，在以下两个题目中，任选一个进行数学建模实践.

（1）经济生活中，商品的需求量与供给量都与商品的价格有关.一般来说，商品的价格越低，想购买这种商品的人就越多，因此需求量越大，但此时因为销售的利润低，因此卖的人就会越少，从而供给量越小、与其他同学一起分工合作，查阅有关资料，按照数学建模的步骤与方法，给出商品的需求量与供给量模型，并探讨它们之间的关系。

（2）不管是驾驶汽车还是骑自行车，当发现路况有变化需要紧急停车时，停车距离会与很多因素有关。例如，人的反应时间、车的速度、车与人的质量等都会影响停车距离。与其他同学一起分工合作，查阅有关数据或者自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型

教学反思掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设

问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响.

模型假设（即合理假设）是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素