人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案及答案

 7.1.2   复数的几何意义

【学习目标】

【自主学习】

一．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做      ，x轴叫做    ，y轴叫做  ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

二．复数的两种几何意义

注意：复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．

三．复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝       ．

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．

四．共轭复数

1.一般地，当两个复数的实部     ，虚部      时，这两个复数叫做互为共轭复数．

2.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做      ．

3.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝     ．

注意：复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上. (　　)

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(　　)

(3)原点是实轴和虚轴的交点.(　　)

(4)复数的模一定是正实数.(　　)

(5)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　)

(6)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.(　　)

【经典例题】

题型一  复数与复平面内点的关系

点拨：利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　

例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围)．

(1)Z在实轴上；

(2)Z在第二象限。

【跟踪训练】1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：

(1)第三象限；

(2)直线x－y－3＝0上．

题型二  复数与复平面内向量的对应关系

点拨：1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．

2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．

3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．

例2 已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)

A．－5＋5i　　　　　　　　 B．5－5i

C．5＋5i   D．－5－5i

【跟踪训练】2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是

2＋3i,  3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．

题型三 复数的模

点拨：

1.复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．

2.根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决．

3.根据复数模的定义|z|＝||，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决．

例3 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.

(1)在复平面中画出复数z1，z2对应的点和向量；

(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小。

【跟踪训练】3设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=1；   （2）1＜|z|＜2.

【当堂达标】

1.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)

A．－2－i   B．2＋i

C．1＋2i   D．－1＋2i

2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　)

A.   B.

C．5   D．25

3.设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________。

4.若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．

5.已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．

6.在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.

【课堂小结】

1.复数的几何意义

2.复数的模

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；

②从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．

【参考答案】

【自主学习】

复平面  实轴  虚轴  相等  互为相反数  共轭虚数 a－bi

【小试牛刀】

(1)√　(2)×　(3) √   (4)×　(5) ×   (6)√

【经典例题】

例1 解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3)．

(1)若点Z在实轴上，则有2a－3＝0，解得a＝.

(2)若点Z在第二象限，则有即解得<a<2.

【跟踪训练】1 解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限．

(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，

当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．

例2 B 解析：选B.向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2)．

由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，

根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.

【跟踪训练】2 解 由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．

设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．

由题意知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.

例3

【跟踪训练】3

【当堂达标】

1.D 解析：由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量对应的复数为－1＋2i.

2.C 解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.

3. ±i 解析：因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝.

又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i.

4. 2 4 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.

5. 解 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，

由已知得32＋a2＜42，∴a2＜7，∴a∈(－，)．

6.解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，

所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.

(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m＝1，所以z＝－2.