高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第1课时导学案

8.1  基本立体图形

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

【学习目标】

【自主学习】

一．空间几何体的定义及分类

1.定义：如果只考虑物体的     和     ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的

      就叫做空间几何体．

2.分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．

二．空间几何体

三．棱柱、棱锥、棱台的结构特征

四．棱柱的分类

棱柱

常见的几种四棱柱之间的转化关系：

【小试牛刀】

1. 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)

(2)侧面都是正方体的棱柱叫长方体. (　　)

(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．　(　　)

(4)正棱锥的侧面是等边三角形。(　　)

(5)将棱台的各侧棱延长可交于一点．(　　)

2.下面属于多面体的是________(填序号).

①    建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

【经典例题】

 题型一 棱柱的结构特征

点拨：判断棱柱的两种方法

1.扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

2.举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．　

例1 如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1.

②    这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．

【跟踪训练】1下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是三角形；

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是__________．

题型二 棱锥、棱台的结构特征

点拨：判断棱锥、棱台形状的两种方法

(1)举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．　

(2)直接法

例2 下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③    棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

【跟踪训练】2

（1）棱台不具有的性质是(　　)

A．两底面相似　　　　　 B．侧面都是梯形

C．侧棱长都相等   D．侧棱延长后相交于一点

（2）下列说法中，正确的是(　　)

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

A．①②  B．①③

C．②③   D．②④

题型三 空间几何体的平面展开图

点拨：1.绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．　

例3 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

【跟踪训练】3 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是  (　　)

A．1　　　　B．6　　　　C．快　　　　D．乐

【当堂达标】

1.下列说法正确的是(　　)

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱

2.下面多面体中，是棱柱的有(　　)

A．1个　　B．2个　C．3个　　D．4个

3.下面图形中，为棱锥的是(　　)

A．①③  B．③④  C．①②④  D．①②

4.下面四个几何体中，是棱台的是(　　)

5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

6.一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．

7.长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．

【课堂小结】

1．能够理解并记忆棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．四棱柱的特殊分类

四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体

3．棱柱、棱台、棱锥关系图

4．正棱锥与正棱台

(1)底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形中心的棱锥，叫正棱锥．

(2)正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．

【参考答案】

【自主学习】

一．    形状 大小  空间图形

二．平面多边形 多边形  公共边  棱与棱 这条定直线  曲面 封闭  这条定直线

三．平行 四边形 平行  多边形  公共顶点

【小试牛刀】

1.(1)√  (2) ×  (3) ×　(4)×　(5)√

2. ①②　解析：①②属于多面体，③④属于旋转体．

【经典例题】

例1 解 ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1.

【跟踪训练】1 ③④  解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

②错误，棱柱的底面可以是三角形；

③正确，由棱柱的定义易知；

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.

例2 ①②③　解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

【跟踪训练】2 （1）C 解析：由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．

【跟踪训练】2 （2）B 解析：由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．

例3 题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

【跟踪训练】3 B 解析：将图形折成正方体知选B.

【当堂达标】

1.D 解析：棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．

2.D解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个几何体都是棱柱．

3.C 解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.

4.C 解析：选C.A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．

5.D 解析：A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．

6. 5　3解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．

7. 3 解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：3，2，，显然最小值是3.