高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用导学案

8.4.1　平  面

【学习目标】

【自主学习】

一．平面

1.概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：

①平；②无限延展，没有边界；③没有厚薄．

2.画法

(1)我们常用矩形的直观图，即          表示平面．

(2)当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成     ；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成      ．

3.表示法：

我们常用希腊字母        等表示平面，如平面α 、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，如          ，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如       或        ．

二．文字语言与符号语言的对应关系：

三．平面的基本性质及应用

三个推论：

推论1                           ，有且只有一个平面.

推论2                       ，有且只有一个平面.

推论3                       ，有且只有一个平面.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面是处处平的面． (　　)

(2)平面是无限延展的． (　　)

(3)平面的形状是平行四边形． (　　)

(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm. (　　)

2.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)

A．A∈l，l∉α　 B．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α

3．（多选）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为(　　)

A．平面MN          B．平面NQP

C．平面α            D．平面MNPQ

【经典例题】

题型一 三种语言的相互转化

点拨：三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.

例1 用符号语言表示下面语句，并画出图形：

（1）三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．

【跟踪训练】1  根据图，填入相应的符号：A____平面ABC，A____平面BCD，BD___平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝____；

题型二 点线共面问题

点拨：在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

例2 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.

【跟踪训练】2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.

题型三 三点共线问题

点拨：证明三点共线的方法

(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．

例3 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．

【跟踪训练】3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.

题型四 三线共点问题

点拨：证明三线共点的思路

(1)首先说明两条直线共面且交于一点．

(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．

(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．

例4 如图，已知空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC＝DG：GA＝1：2. 求证：直线EF、BD、HG交于一点．

【跟踪训练】4 如图，已知平面α， β， 且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点).

【当堂达标】

1.下列说法正确的是(　　)

A．镜面是一个平面                            B．一个平面长10 m，宽5 m

C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍      D．所有的平面都是无限延展的

2.若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　　)

3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)

A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α

4.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　B　)

A．A，B，C，D四点中必有三点共线      B．A，B，C，D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交                   D．直线AB与CD平行

5.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是1或4.

6.不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．

7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．

【课堂小结】

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本事实的作用，体会先部分再整体的思想．

【参考答案】

【自主学习】

平行四边形   横向 竖向   α，β，γ  平面ABCD  平面AC  平面BD

A∈l   A∈α    l⊂α    l∩m＝A   A∉l   A∉α   l⊄α  α∩β＝l

有且只有  两个点  这个平面内  公共直线

经过一条直线和这条直线外一点   经过两条相交直线   经过两条平行直线

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.B

3.BCD　解析：表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A．

【经典例题】

例1  解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.

图形表示：

(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．

【跟踪训练】1 ∈   ∉     ⊄   AC

例2 [证明]　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.

【跟踪训练】2 [证明]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.

∴直线a⊂β，点 P∈β.∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.

又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.

例3  [证明]　∵E∈AB，H∈AD，

∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.

∴EH⊂平面ABD.

∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.

同理O∈平面BCD，

即O∈(平面ABD∩平面BCD)，

∴O∈BD，即B，D，O三点共线．

【跟踪训练】3 解析：　证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.

∴P、Q、R三点共线.

证法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.

又∵Q∈面APR，Q∈α，

∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.

例4 证明：连接EH、FG.

∵E、H分别为BC、AB的中点，

∴EH∥AC.

∵DFFC＝12，DGGA＝12，

∴FG∥AC，FG＝AC，

∴EH∥FG且EH≠FG，

∴E、F、G，H四点共面且EF不平行于GH.

∴EF与GH相交．

设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.

∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，

∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.

∵平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点．

【跟踪训练】4 [证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，

所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．

所以AB，CD必定相交于一点.

设AB∩CD＝M.

又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.

所以M∈α∩β.

又因为α∩β＝l，所以M∈l.

即AB，CD，l共点(相交于一点).

【当堂达标】

1.D　解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D．

2.A 解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．

3.B 解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.

4.B 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.

5.1或4 解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．

6. 3　解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面α，直线b，c确定平面β，直线a，c确定平面γ，共3个平面．

7.[证明]　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC．又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.

所以点P在直线DE上．