人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行导学案

8.5　空间中直线、平面的平行

8.5.1  直线与直线平行

【学习目标】

【自主学习】

一．基本事实4

1.平行于同一条直线的两条直线     ．这一性质通常叫做平行线的      ．

符号表示：b∥ca∥b⇒a∥c.

2.定理

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．(  )

(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．(  )

2.已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)

A．30°                    B．150°

C．30°或150°              D．大小无法确定

【经典例题】

题型一　直线与直线平行的证明

点拨：证明空间中两条直线平行的方法

1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．

2.利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 

例1 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．

【跟踪训练】1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.

题型二　等角定理的应用

点拨：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补． 

例2 下列结论中，正确的结论有(　 　)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.

A．1个　　 B．2个　　

C．3个　　 D．4个

【跟踪训练】2 如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.

【当堂达标】

1.下列结论中正确的是(   )

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.

A．①②③        B．②④     C．③④      D．②③

2.在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)

3.空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．

4.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．

5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)∠BMC＝∠B1M1C1.

【课堂小结】

1.求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．

2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

3.证明线线平行的常用方法

(1)利用三角形、梯形中位线的性质．

(2)利用平行四边形的性质．

(3)利用平行线分线段成比例定理．

(4)利用基本事实4.

【参考答案】

【自主学习】

平行  传递性 相等 互补

【小试牛刀】

1.(1)× (2)×

2.C 解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.

【经典例题】

例1 证明：连接AC.

∵M、N为CD、AD的中点，

∴MN∥A C，MN=AC.

由正方体性质可知AC∥A′C′.

∴MN∥A′C′，MN=A′C′.

∴四边形MNA′C′是梯形．

【跟踪训练】1 证明

(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，

所以EF∥HG，EF＝HG，

所以四边形EFGH是平行四边形.

(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EH∥BD，EH＝BD.

因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.

又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.

例2  B 解析: ②④是正确的.

【跟踪训练】2 证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BNC1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP，

又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.

【当堂达标】

1.B 解析：①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．

2.A′D′，B′C′，BC

3. 60°或120° 解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．

4. ①② 解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．

5.证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，

所以MM1═∥AA1.

又因为AA1═∥BB1，

所以MM1∥BB1，

且MM1＝BB1.

所以四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

所以B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

所以C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，

所以∠BMC＝∠B1M1C1.