高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行导学案

8.5.3  平面与平面平行

【学习目标】

【自主学习】

一．平面与平面平行的判定

(1)文字语言：如果一个平面内的两条       直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，       ，a∥α，b∥α⇒β∥α.

(3)图形语言：如图所示．

注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

二．平面与平面平行的性质定理

(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线     ．

(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，       ⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

(4)作用：证明两直线     ．

思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β. (　　)

(2)α内的任何直线都与β平行，则α∥β. (　　)

(3)直线a∥α，a∥β，则α∥β. (　　)

(4)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β. (　　)

(5)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．(　　)

2.已知平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)

A．l∥β   B．l⊂β

C．l∥β或l⊂β   D．l, β相交

【经典例题】

题型一 平面与平面平行的判定

点拨：平面与平面平行的判定方法

1.定义法：两个平面没有公共点.

2.判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.

3.利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．求证：平面AB1D1∥平面C1BD。

【跟踪训练】1 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

题型二  面面平行性质定理的应用

点拨：应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．　

例2 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．

【跟踪训练】2 如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．

变式：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．

题型三 平行关系的综合应用

点拨：解决平行关系的综合问题的方法

1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2.要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．　

例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

【跟踪训练】3如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图(乙)．求证：平面FHG∥平面ABE.

【当堂达标】

1.a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)

A．平行      B．异面     C．相交 D．平行或异面或相交

2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)

A．2∶25　　　B．4∶25    C．2∶5   D．4∶5

3.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)

A．16         B．24或   C．14   D．20

4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

5.已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；

②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；

③若a∥α，a∥β，则α∥β；

④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.

其中正确命题的序号是________．

6.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.

【课堂小结】

一．常用的面面平行的其他几个性质

1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

5.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

二．三种平行关系的转化．

【参考答案】

【自主学习】

相交  a∩b＝P  平行   β∩γ＝b  平行

思考：不一定．它们可能异面．

【小试牛刀】

1.(1)×(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

2.C 解析：假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.

【经典例题】

例1 【解】　(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，

所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.

所以AB1∥平面C1BD.

同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

【跟踪训练】1 [证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC．

∵四边形ABCD为平行四边形．

∴BC∥AD，∴MQ∥BC．

又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC．

又∵MQ∩NQ＝Q，

∴平面MNQ∥平面PBC．

例2 解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.

(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，

所以CD＝(cm)，所以PD＝PC＋CD＝(cm)．

【跟踪训练】2  [解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝.所以BD＝.

变式：[解]　与本例同理，可证AB∥CD．所以＝，即＝，所以BD＝24.

例3 证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

因为MP∥BB1，所以＝.

因为BD＝B1C，DN＝CM，

所以B1M＝BN，

所以＝，所以＝，所以NP∥CD∥AB.

因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

所以NP∥平面AA1B1B.

因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B.

所以MP∥平面AA1B1B.

又因为MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

所以平面MNP∥平面AA1B1B.

因为MN⊂平面MNP，

所以MN∥平面AA1B1B.

【跟踪训练】3 证明：因为F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，所以FH∥CD，HG∥AE.

又AB⊥CD，AB⊥BE，所以CD∥BE，所以FH∥BE.

因为BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，所以FH∥平面ABE.

因为AE⊂平面ABE，HG⊄平面ABE，所以HG∥平面ABE.

又FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.

【当堂达标】

1.D解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．

①    　　　　②　　　　　③　　

2.B 解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，

所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，

S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.

3.B 解析：选B.由α∥β得AB∥CD.分两种情况：

若点P在α，β的同侧，则＝，所以PB＝，所以BD＝；

若点P在α，β之间，则有＝，所以PB＝16，所以BD＝24.

4. 平行四边形 解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，

所以EF∥HG.

同理EH∥FG.

所以四边形EFGH的形状是平行四边形．

5. ④ 解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．

6.证明：因为D1QCD，ABCD，所以D1QAB，

所以四边形D1QBA为平行四边形，所以D1A∥QB.

因为D1A⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，

所以D1A∥平面BPQ.

因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QP∥D1C.

因为D1C⊄平面BPQ，QP⊂平面BPQ，

所以D1C∥平面BPQ，又D1A∩D1C＝D1，

所以平面AD1C∥平面BPQ.