2021-2022学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题含解析

2021-2022学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题

一、单选题

1．已知函数，则=（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】求得解析式，代入数据，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以.

故选：A

2．已知事件A，B满足：，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率公式求.

【详解】由条件概率公式知：.

故选：D

3．为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是（       ）

A．有99%的高中生爱好该项运动

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】C

【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.

【详解】由，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.

故选：C

4．在四面体P—ABC中，E是PA的中点，F是BC的中点，设，则=（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由向量加减、数乘的几何意义可得，即可得答案.

【详解】由题设，.

故选：A

5．已知随机变量X的分布列如下：

则的值为（       ）A．2 B．6 C．8 D．18

【答案】D

【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.

【详解】解：根据分布列可知，解得，

，

，

所以.

故选：D.

6．若函数在区间（0，4）内有极值点，则实数a的取值范围是（       ）

A．（1，） B．[1，） C．（1，+∞） D．[1，+∞）

【答案】C

【分析】由题设知在上有变号零点，结合二次函数性质求参数范围.

【详解】由题设，在上有变号零点，

由开口向上且对称轴为，且，

所以要使在上有变号零点，即，故，

，则，满足题设；

，则，满足题设；

综上，a的取值范围是(1，+∞).

故选：C

7．把27粒种子分别种在9个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补种一个坑需12元，用X表示补种费用，则X的数学期望为（       ）

A．3元 B．4元 C．12元 D．24元

【答案】B

【分析】由题设易得9个坑需要补种的个数，利用二项分布的期望公式求，进而求X的数学期望.

【详解】每个坑需要补种的概率为，故9个坑需要补种的个数，

所以，故补种费用元.

故选：B

8．若且）恒成立，则a的取值范围是（       ）

A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．

【答案】C

【分析】当时，原题等价于在区间上恒成立，令，利用导数求得的单调区间和最值，分析计算，即可得答案，当，分析得不符合题意，综合即可得答案.

【详解】当时，由题意与互为反函数，

所求等价于在区间上恒成立，

令，则，

令，解得，

当时，，则为减函数，

当时，，则为增函数，

所以在处取得极小值，也为最小值，

所以，整理可得，

因为，所以，

所以，则，

所以，则，解得；

当时，不符合题意，故舍去，

所以a的取值范围是

故选：C

二、多选题

9．下列四个表述中，正确的是（       ）

A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心（）

B．在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量约增加0.1个单位

C．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高

D．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越小

【答案】AB

【分析】A、B根据回归直线的性质及回归直线方程的斜率判断；C、D由相关系数的意义、独立检验的基本思想判断.

【详解】A：由样本中心一定在回归直线上，正确；

B：由，x每增加1个单位则约增加0.1个单位，正确；

C：两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于1，x，y之间的线性相关程度越高，错误；

D：观测值k越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，错误；

故选：AB

10．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．在上是减函数

C．在区间内有2个极值点

D．曲线在点处的切线的斜率大于0

【答案】ABD

【分析】根据导函数的图像确定的极值点、单调区间，进而判断各选项的正误.

【详解】由题图，的极小值点为、，极大值点为，C错误；

在上递减，B正确；上递增，则，A正确；

由图知：，即在点处的切线的斜率大于0，D正确.

故选：ABD

11．在10件产品中，其中有3件一等品，4件二等品，3件三等品，现从这10件产品中任取3件， 记X为取出的3件产品中一等品件数，事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，事件B为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是（       ）

A． B． C． D．A，B相互独立

【答案】AC

【分析】写出随机变量的所有取值，求出对应随机变量的概率，再根据期望公式求出期望，即可判断ABC；再根据相互独立事件的定义即可判断D.

【详解】解：随机变量可取，

，

，

，

，

则，

，

故A正确，B错误，C正确；

因为事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，为必然事件

事件B为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，包含事件于A，

所以事件A和事件B不是相互独立事件，故D错误.

故选：AC.

12．若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（       ）

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的最小值为

D．若，点P的轨迹为一段圆弧

【答案】AC

【分析】当时，可得点P的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P到平面的距离不变，即可判断A的正误；当时，可得点P的轨迹，利用反证法可证，P到平面的距离在变化，即可判断B的正误；当时，可得三点共线，利用翻折法，可判断C的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得和的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】因为，其中，

所以点P在平面内运动，

对于A：取AD中点E、中点F，连接EF，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

当时，则，

所以点P在线段EF上运动，

因为平面，

所以无论点P在EF任何位置，P到平面的距离不变，即高不变，

所以三棱锥的体积为定值，故A正确；

对于B：取中点G，中点H，连接GH，

当时，，

所以点P在GH上运动，

假设平面，

又，平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，与已知矛盾，故假设不成立，

所以GH不平行平面，

所以P在GH上运动时，P到平面的距离在变化，

所以三棱锥的体积不是定值，故B错误；

对于C：连接，，，当时，可得三点共线，

将沿翻折至与平面共面，如下图所示

连接AB，当P为AB与交点时，最小，即为AB，

因为均为面对角线，

所以，即为等边三角形，

又，，

所以，，

所以

在中，由正弦定理得，

所以，故C正确；

对于D：分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示，

则，设，

所以，

所以

因为平面，平面，

所以，

又，

所以，

所以，整理得，

所以，即，

所以P点轨迹为线段，故D错误

故选：AC

【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.

三、双空题

13．某校中学生篮球队假期集训，集训前共有5个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）2个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回，设第一次训练时取到的新球个数为，则______；第二次训练时恰好取到一个新球的概率为___________

【答案】     0.6     0.54

【分析】由题意，应用古典概型的概率求法求、、，再应用全概率公式求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

【详解】由题意，，

，，，

事件表示第二次恰好取到一个新球，

当时，；

当时，；

当时，，

所以.

故答案为：，

四、填空题

14．已知随机变量，，则_______.

【答案】

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题中所给数据，分析即可得答案.

【详解】由题意得，正态分布曲线的对称轴为x=8，

根据对称性可得：，

故答案为：

15．已知定义在R上的函数f（x）满足：，且，则的解集为___________.

【答案】

【分析】由题意得，构造，利用导数求得的单调性，结合题中数据，可得，根据单调性，即可得答案.

【详解】由题意得，构造，

则，则在R上为单调递增函数，

因为，所以，

所以可变形为，

因为在R上为单调递增函数，

所以，则的解集为

故答案为：

16．在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.

【答案】

【分析】根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理及题意，可证，，，如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，即可求得平面ABC的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案.

【详解】取BD中点O，连接AO、CO，

因为，所以、为等边三角形，

因为O为BD中点，

所以，

因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，

所以平面BCD，

又平面BCD，

所以，，

以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，

设菱形ABCD的边长为2，

则

所以，

设平面ABC的法向量，

则，即，

令，则，即，

设AD与平面ABC所成角为，

则，

所以AD与平面ABC所成角的正弦值为.

故答案为：

五、解答题

17．如图，在Rt△POA中，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点，

(1)求证：：

(2)求点C到平面PAB的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由面得，根据圆的性质知，根据线面垂直的判定及性质即可证结论；

（2）利用等体积法有，结合棱锥的体积公式求点面距.

【详解】(1)由题意知：面，面，则，

由C为的中点，则，

又，面，故面，

由面，则.

(2)若，易知：是AB中点，又，

而，，且，

则，故，

又，则，故，

若C到平面PAB的距离为，则，

所以，即C到平面PAB的距离为.

18．根据统计，某蔬菜亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间对应数据的散点图如图所示.

(1)请从相关系数r（精确到0.001）的角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

(2)建立y关于x的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克？

参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

参考数据：

【答案】(1)见解析

(2)，增加量约为5百千克

【分析】（1）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解；

（2）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将代入上式的线性回归方程中，即可求解．

【详解】(1)解：（1）由已知数据可得，，

所以，

，

，

所以相关系数，

因为，

所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系；

(2)解：由于，

，

所以关于的线性回归方程为，

当时，，所以西红柿亩产量的增加量约为5百千克．

19．如图，三棱柱ABC—棱长都为2，平面ABC⊥平面，过作平面A1CD平行于，交AB于点D.

(1)求证：点D为AB的中点；

(2)若，求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接交于，连接，由面可得，根据已知有为中位线，即可证结论；

（2）由题设易证，根据面面垂直的性质及棱柱的结构特征有面，再由线面垂直的判定和性质有，若为的中点，等边三角形性质有，即为锐二面角的平面角，进而求大小.

【详解】(1)由题意，面，连接交于，连接，

则面，面面，

所以，又棱长都为2，即是中点，

在△中为中位线，即D为AB的中点；

(2)由（1）知：，，又，故，

所以，即，

又面ABC⊥面，面ABC面，面，

所以面ABC，而面ABC面，故面，

由面，则，

又△为等边三角形，若为的中点，则，

而，面，则面，

又面，所以，

综上，，，故锐二面角的平面角为，

在Rt△中，则.

20．设函数，，若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为

(1)求a，b的值：

(2)若关于x的不等式只有唯一实数解，求实数m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导可得，根据导数的几何意义，可得，又，即可求得答案.

（2）由（1）可得，利用导数可得的单调性和最值，则所求整理可得只有唯一实数解，令，利用导数求的单调区间和最值，分析即可得答案.

【详解】(1)由题意得，

所以，

又，解得.

(2)由（1）可得，，

令，解得，

当时，，则为增函数，

当时，，则为减函数，

所以

则只有唯一实数解，整理可得，

令，

则

因为，

所以恒成立，

令，解得，

当时，，则为减函数，

当时，，则为增函数，

所以，

因为只有唯一实数解使得成立，所以.

所以关于x的不等式只有唯一实数解，实数m的值为

21．已知一袋中装有30个球，每个球上分别标有1，2，3，…，30的一个号码，设号码为n的球重为（单位：克），这些球等可能的从袋中被取出.

(1)现从中不放回地任意取出2球，试求它们重量相等的概率；

(2)现从中任意取出1球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）根据二次函数对称性写出任意取出2球重量相等的号码的可能组合，应用古典概型的概率求法求概率；

（2）首先求出每次取到球后停止的概率，而并应用独立事件乘法公式求对应值的概率，进而写出分布列，即可求期望值.

【详解】(1)令，其对称轴为且，

所以不放回地任意取出2球重量相等的号码有、、、、，

故不放回地任意取出2球重量相等概率为.

(2)由（1），，即或且，

所以，取到共23个中的一个，即可停止取球，

故每次取到球后停止的概率为，而，

，，，

分布列如下：

所以.

22．设函数

(1)当时，求的值域；

(2)当时，，求k的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）利用导数研究的区间单调性并求出区间最值，即可得值域；

（2）将问题转化为上恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可求参数范围.

【详解】(1)由题设，，则，

当时，即递减；当时，即递增；

而，，，

所以的值域为.

(2)令，

所以，上，即上恒成立，

令，则，

令，则，

当时，即在单调递减，

所以，故，

所以在单调递减，则，

当时，，

令，则，所以在上递减，

故.

综上，，故k的取值范围.

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为求上恒成立，结合导数求右侧的最大值即可.