2021-2022学年广东省深圳市高二下学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省深圳市高二下学期期末数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题意，故选：C2．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数除法运算直接求解即可.【详解】由题意得：.故选：B.3．已知，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A4．如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算求解即可【详解】因为为的中点，且为边上的中线，故，故故选：A5．已知直线与平面，则能使的充分条件是（       ）A．， B．，，C．， D．，【答案】D【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A错误；对于B，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B错误；对于C，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C错误；对于D，，存在直线，满足，又，，，，D正确.故选：D.6．国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先安排爸妈，再将孩子放在中间，根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】将爸妈安排在两边，有种排法；将三个小孩放在中间，有种排法；则所有不同的排法种数为：种.故选：B.7．如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（       ）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】延长交的延长线于点，所以，结合椭圆的定义得，所以在中，．【详解】如图所示： 延长交的延长线于点，因为为的外角平分线，，所以易得，所以，，结合椭圆的定义得，又为的中点，为的中点，所以在中，，故选：B.8．设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，将问题转化为与有个不同的交点；结合导数可求得单调性，由此可得的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】令；方程有个不同的实根等价于与有个不同的交点；当时，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；则可得图象如下图所示，由图象可知：当时，与有个不同的交点；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题基本思路是将问题转化为两函数图象交点个数的问题，作出函数图象，采用数形结合的方式确定参数范围.二、多选题9．已知样本数据的平均数是，方差为，则样本数据的（       ）A．平均数是 B．平均数是C．方差是 D．方差是【答案】AC【分析】根据平均数和方差的运算性质直接求解即可.【详解】由题意知：，，，，即的平均数为；，，即的方差为.故选：AC.10．已知直线，圆，则（       ）A．直线与圆相交B．圆上的点到直线距离的最大值为C．直线关于圆心对称的直线的方程为D．圆关于直线对称的圆的方程为【答案】ACD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；利用圆心到直线距离知直线与圆相交，得A正确；由圆上点到直线距离最大值为，可知B错误；由直线关于点的对称直线的求法可知C正确；利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程，知D正确.【详解】由圆方程知：圆心，半径；对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确；对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误；对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：，则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确；对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，所求圆的圆心为，半径为，圆关于直线对称的圆的方程为，D正确.故选：ACD.11．已知数列中，，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据递推关系式可推导可知数列是以为周期的周期数列，由可知A错误；由知B正确；由知C错误；根据递推关系式得到，可知，得到D正确.【详解】由题意得：，，，，…，数列是以为周期的周期数列；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，由递推关系式知：，，D正确.故选：BD.12．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是.令则下列说法正确的有（       ）A．是奇函数B．是周期函数C．的最大值为D．在上单调递增【答案】ABD【分析】由奇偶性定义可知A正确；由知B正确；利用导数可求得在上的值域，结合奇偶性和周期性可确定最大值，知C错误；求导后可证得，由此可知D正确.【详解】对于A，，是奇函数，A正确；对于B，，是的一个周期，B正确；对于C，，；当时，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，；则当时，；为奇函数，当时，；又周期为，，即最大值为，C错误；对于D，，；当时，，，，，，，在上单调递增，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数奇偶性、周期性、单调性和最值的求法；求解关键是能够充分理解所给函数的表达式，灵活应用导数求解函数在一个周期内的单调区间和值域，通过函数的周期性推导得到结果.三、填空题13．若是奇函数，则实数___________.【答案】【分析】利用可求得，验证可知满足题意.【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：；当时，，，为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案为：.14．已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【分析】根据渐近线方程可设双曲线的方程，再代入计算即可【详解】双曲线的渐近线方程为,可设双曲线的方程为,代入,可得,则双曲线的方程为.故答案为：15．如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为___________.【答案】【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为，高为，利用相似关系可知，由此可将正三棱柱体积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值.【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆；要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆；设小圆的半径为，正三棱柱的高为，，解得：；又正三棱柱的底面三角形面积，正三棱柱的体积，则；当时，；当时，；当时，.故答案为：.四、双空题16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.例如：取正整数，根据上述运算法则得出，共需个步骤变成，称为步“雹程”.一般地，对于正整数，根据上述运算法则，第一次变成时，所需步数称为的“雹程”，记为.则___________；若，则的所有可能取值的集合为___________.【答案】     ；     .【分析】当时，根据运算法则即可得出结果；当时，根据运算规则逆向寻找结果即可.【详解】解：当时，根据运算法则可得：，共需要个步骤，故.若，根据运算规则需要步才第一次变成，所有可能的情形有：；；；.故满足的正整数的所有可能取值的集合为.故答案为：；.五、解答题17．已知等比数列的首项，公比.在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，可求得数列的公比，由等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，进而得到结论.【详解】(1)由题意知：，，则等比数列的公比，解得：，.(2)由（1）得：，，，又，，即.18．记中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可【详解】(1)由正弦定理可得，故，因为，故，故，又，故(2)根据余弦定理可得，故，故，.当时， ；当时，，故的面积为或19．如图（），在直角梯形中，，，且，取的中点，连结，并将沿着翻折，翻折后，点分别是线段的中点，如图（）.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，利用勾股定理可证得，结合可证得平面，结合线面垂直的性质与判定得到平面，得到；由等腰三角形三线合一得到，进而证得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】(1)连接，，，，为中点，四边形为正方形，，翻折后，，，；又，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，；，为中点，，又，平面，平面，平面，.(2)以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，；轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即平面与平面夹角的余弦值为.20．为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：问题答对的概率获得的荣誉积分 (1)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；(2)若小明按照的顺序答题所获得的总积分为，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为，请分别求的分布列，并比较它们数学期望的大小.①；②：③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据全概率公式计算可求得结果；（2）首先确定和所有可能的取值，根据独立事件概率乘法公式依次确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望，从而得到数学期望的大小关系.【详解】(1)记事件：小明随机选择一道题并答对；事件：小明选择问题；事件：小明选择问题；事件：小明选择问题；则，且两两互斥；事件分别为：小明答对问题；由题意知：，，，；.(2)由题意知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为： 则数学期望；若选条件①，所有可能的取值为，；；；；的分布列为： 则数学期望，；若选条件②，所有可能的取值为，；；；；的分布列为： 则数学期望；；若选条件③，所有可能的取值为，；；；；的分布列为： 则数学期望；.21．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.(1)求抛物线的方程和点的坐标；(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.【答案】(1)抛物线；(2)证明见解析【分析】（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.【详解】(1)设，则，解得：，抛物线；.(2)由题意知：直线斜率不为零，可设，，，由得：，，即；，；，，又，；则（此时成立），直线，当时，，直线恒过定点.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.22．设函数，已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：.【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析.【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到；设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间；（2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论.【详解】(1)设直线与曲线相切于点，，；又，，即；设，则，在上单调递增，又，有唯一零点，，，解得：；，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.(2)由（1）知：；当时，；当时，，；要证，只需证；在上单调递减，只需证，又，则只需证对任意恒成立；设，；设，则，在上单调递减，，又当时，，，在上单调递增，，即在时恒成立，又，，原不等式得证.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.