2021-2022学年广东省湛江市高二下学期期末考试数学试题含答案

湛江市2021-2022学年高二下学期期末调研考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”。

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各答题指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

4. 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,则

A．         B．             C．      D．

2．已知复数（是虚数单位），则对应的点所在象限为

A. 第一象限            B. 第二象限         C.第三象限        D.第四象限

3．已知，若，则

A.             B.              C.            D.

4．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为

A．9                 B．18                C．24                D．27

5．边长为1的等边三角形ABC中，若 ，则

A.  B.  C.  D.

6. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的2×2列联表：

其中，，经计算

则下列推断错误的是

A.该市一天空气中PM 2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64

B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化

C. 有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关

7．直线与曲线相切，且与圆相切，则

　A． 　　　　　　   B．　　　　　　　C．      　　　  D．

8．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法错误的是

A. 图象关于直线对称     　 B.

C. 的最小正周期为4               D. 对任意都有

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是

A. 经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点;

B. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好;

C. 经验回归方程对应的经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好;

D. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好．

10. 以下四个结论正确的是

A. 命题：“”的否定是“”；

B. 的充要条件是；

C.；

D.一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大．

11．已知数列中，，，，则下列说法正确的是

A.  B. 是等比数列

C.  D.

12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则

　A.当时，　　　　　　

　B. 当时，三棱锥的体积为定值

　C.当时，的最小值为

　D. 当时，存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.

14．已知，则________．

15．函数在区间上的最大值是________，最小值是________．

16．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立，在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为           ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

已知等差数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18．（本小题满分12分）

已知四边形中，与交于点，．

（1）若，，求；

（2）若，，求的面积．

19．（本小题满分12分）

　　如图，在三棱柱中，平面，且D为线段的中点.

（1）证明：；

（2）若到直线的距离为，求平面与

平面夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即．

（1）试求考试成绩位于区间的概率．

（2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在的人数．

（3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值．

（参考数据：若随机变量，则 ，

，．）

21．（本小题满分12分）

　     已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，△面积的最大值为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结交椭圆于点，为坐标原点．证明：为定值.

22.（本小题满分12分）

已知函数（为的导函数）

（1）讨论单调性；

（2）设，是的两个极值点，证明：.

湛江市2021-2022学年高二下学期期末调研考试

数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C     2.A      3.C      4.B      5.A    6. B      7. B      8.C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. BD       10.AD      11.ABC        12. ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.     14.     15.，       16.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分10分）

解：（1）设等差数列的公差为，因为，

所以，即，

解得，，                                 ……………………3分

所以，

所以数列的通项公式为：；               ……………………5分

（2）由（1）得                 ……………………6分

，

又，

两式相减得：，

……………9分

整理得：．                               ……………………10分

18．（本小题满分12分）

解：解（1）在中，由正弦定理可得，     …………2分

因为，，，

所以，     …………4分

可得                    …………6分

（2）在中，，，，

设，，，

由余弦定理可得，  …………8分

解得，，，  …………10分

所以的面积为．  …………12分

19．（本小题满分12分）

解：(1)证明：因为平面平面，所以，

因为，

所以，所以，

因为，所以平面，

又平面，所以；                            …………4分

(2)过B作于H，连接，

因为平面，∥，

所以平面，

又因平面，

所以，

因为，

所以平面，                                            …………7分

又平面，所以，则，因为，所以.

以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

设平面的法向量为，则，…………9分

令，则，

同理可得平面的一个法向量为，

则，                               …………11分

故平面与平面夹角的余弦值为                       .…………12分

20．（本小题满分12分）

解：(1)因为，故均值为，标准差为，

故       ……2分

(2),

故考试成绩在的人数约为，               …………5分

(3)因为，结合题设条件可得                  …………6分

故，，

，，           

故随机变量的分布列如下：

…………10分

故                                            .   …………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）当为短轴端点时，△的面积最大，，

，解得，，

椭圆方程为．                                      …………4分

（2）证明：由（1）知，，

　设直线，，，，，

　联立，整理得，…………6分

　由，得，，

　，，                             …………9分

　，          …………11分

　　为定值4．                               …………12分

22. （本小题满分12分）

解：（1）的定义域为.

， 设则 ………1分

当时， 恒成立，在上单调递增.

当时，由，得；……………………………………………3分

由，则；………………………………………………………………4分

综上，当时， 在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减………………5分

（2）证明： ，因为，是函数的两个极值点，

，

两式相减得，…………………………………………………………6分

欲证，

只需证 .

…①……………………………………………7分

不妨设，故①变形为 ②……………………8分

令，， ………………………………………………9分

.………………………………………………………10分

则在上单调递增，则

故②式成立，即要证不等式得证．……………………………………………………12分