2021-2022学年河南省驻马店市高二下学期期末数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省驻马店市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．设，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法先求出复数值，再根据几何意义选出答案.

【详解】，故，

根据复数的几何意义可知，该复数对应复平面的点为.

故选：A.

2．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，若点M的极坐标为，则它的直角坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由极坐标与直角坐标互化公式可得出答案.

【详解】由；

所以点的直角坐标为

故选：D

3．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可

【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误，

对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，

对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，

对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，

故选：C

4．某学校为庆祝建团百年组织征文比赛，前四名被甲、乙、丙、丁获得．甲说：“丙是第一名，我是第三名．”乙说：“我是第一名，丁是第四名．”丙说：“丁是第二名，我是第三名．”已知他们每人只说对了一半，则获得第一名的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】根据题意，分别对丙为第一和乙为第一进行分析，从而可得出答案.

【详解】将甲，乙，丙所说列成表格为：

若丙为第一，则乙不能为第一，从而丁为第四，则丙没有猜对，与题意不符合.

所以乙为第一，丙不能为第一，则甲为第三，丁为第二，从而丙为第四.

所以乙为第一

故选：B

5．直线（t为参数）的倾斜角是（       ）

A．120° B．30° C．60° D．150°

【答案】A

【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，然后求出直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角

【详解】由（t为参数），得

，

所以，得，

设直线的倾斜角为，则，

因为，

所以，

所以直线的倾斜角是，

故选：A

6．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.

【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．

因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，

所以 ．

故选：D．

7．已知，且，，，则a，b，c三个数（       ）

A．至少有一个不小于0 B．都小于0

C．至少有一个不大于0 D．都大于0

【答案】A

【分析】由配方可得，从而得出答案.

【详解】

所以，则a，b，c三个数至少有一个不小于0

故选：A

8．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线上两点A、B对应的极角分别为、，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用极坐标方程求A、B的极径，然后结合图形可得.

【详解】记，则，

由图可知，

所以.

故选：C

9．已知中，，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，由，又，可得.类比上述方法可得：三楼锥中，若，平面，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，，则，，

，化简得到答案.

【详解】设，，，则，

又，∴.

又∵，，.∴.∴，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.

10．已知，直线（t为参数）与曲线交于A、B两点，则（       ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】A

【分析】将直线的参数方程与圆的方程联立，结合直线的参数方程的几何意义可得出答案.

【详解】设A、B两点对应的参数分别为

将代入曲线得：

则

则

故选：A

11．端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法，列出事件A对应的事件，事件AB对应的事件，然后利用条件概率公式求解即可

【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，

事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，

所以，

故选：C

12．已知复数和满足，且，则的最小值是（       ）

A． B．2 C．3 D．1

【答案】D

【分析】设，，复数在复平面内对应的点为，，，复数在复平面内对应的点为，依题意可得、的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得；

【详解】解：设，，复数在复平面内对应的点为，则，，

因为，所以，所以，

所以，则，则在轴上运动，

设，，复数在复平面内对应的点为，

则，

所以，所以，

则在以为圆心，为半径为圆上运动，

所以，

所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离，

因为圆心到轴的距离，所以；

故选：D

二、填空题

13．函数的最小值是______．

【答案】3

【分析】求出，得出单调性，从而得出函数的最小值.

【详解】，由，解得，

，解得，

所以在上单调递减，在 上单调递增，

所以当时，有最小值3.

故答案为：3.

14．疫情之下，宅家的人们难免会出现无聊、焦虑、紧张等情绪，因此线上健身催生了人们居家健身的需求，也带动了“刘畊宏们”健身直播的火爆．已知甲乙两人健身与否互不影响，在五一劳动节当天，甲健身的概率是，甲乙恰有一人健身的概率是，则乙健身的概率是______．

【答案】0.5

【分析】先设乙健身的概率为，由已知列出等式，解出即可.

【详解】设乙健身的概率为 ，由题知甲健身的概率为

已知甲乙两人健身与否互不影响，且甲乙恰有一人健身的概率是 ，则：

，所以

解得：

所以乙健身的概率为

故答案为：.

15．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．若和有公共点，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】先得出曲线的普通方程和曲线直角坐标方程，然后方程联立，由可得出答案.

【详解】曲线的普通方程为

由曲线：，即

则曲线直角坐标方程为：

由，得

则，即，解得

故答案为：

16．若对，关于x的方程恒有实数根，则m的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据绝对值的三角不等式，结合二次函数的值域求解即可

【详解】由题意，恒有实数根，又，故的值域包含，故的最小值，解得

故答案为：

三、解答题

17．已知m为实数，复数的实部与虚部相等，其中i为虚数单位.

(1)求出m的值；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的除法，结合实部与虚部的定义求解即可；

（2）由（1）知，再代入化简，根据模长公式求解即可

【详解】(1)由题意得：

∵复数z的实部与虚部相等       ∴，∴

(2)由（1）知，∴

∴

∴       ∴

18．华为Harmony OS系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继Android、IOS系统之后的全球第三大手机操作系统．为了了解手机用户对Harmony OS系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成，，…，6组，其中期待值不低于60的称为非常期待Harmony OS系统，现整理数据得到如下频率分布直方图．

(1)试估计总体中期待值在区间内的人数；

(2)请根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待Harmony OS系统与性别有关；

(3)为了答谢用户对华为Harmony OS系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中按分层抽样抽出六名代表参加鸿蒙系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率．

附：，其中．

【答案】(1)

(2)列联表见解析，有99.5%的把握认为男女用户对是否非常期待Harmony OS系统有差异

(3)

【分析】（1）先计算样本中期待值不小于60的频率，再求得样本中期待值小于60的频率与人数即可；

（2）根据题意补全列联表，再计算卡方判断即可；

（3）根据古典概型的方法，列举所有的基本事件，再分析满足条件的事件数求解即可

【详解】(1)因为样本中期待值不小于60的频率为，所以样本中期待值小于60的频率为0.4，所以样本中期待值在区间内的人数为，

(2)因为样本中非常期待Harmony OS系统的人数为，所以样本中女用户人数为45，非常期待Harmony OS系统的的男用户人数为40．列表如下：

所以有99.5%的把握认为男女用户对是否非常期待Harmony OS系统有差异．

(3)∵样本中非常期待Harmony OS系统的男用户人数与女用户人数之比为2:1

∴所抽6人包括4男2女．

记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n．

从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女记为事件A

从6人中抽取2人包含的基本事件有AB   AC   AD   Am   An   BC   BD   Bm   Bn   CD   Cm   Cn   Dm   Dn   mn共15种

件A包含的基本事件有Am   An   Bm   Bn   Cm   Cn   Dm   Dn共8种

所以从6人中抽取2人，所抽两人1男1女的概率

19．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数）．

(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

(2)若P，Q分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用可得曲线的直角坐标方程；消去参数t得到直角坐标方程；

（2）设，利用P到直线的距离和三角函数的有界性可得答案.

【详解】(1)∵曲线的极坐标方程，即：，

∴由于，曲线的直角坐标方程为：，即，

曲线的参数方程为（t为参数），

消去参数t得到直角坐标方程为.

(2)∵P为上动点，∴设，而Q在上，

P到直线的距离，

∴当时，，

的最小值为.

20．（1）已知，其中，求证：；

（2）若，，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用分析法证明即可.

（2）由柯西不等式可得答案.

【详解】（1）因为，由基本不等式可得，则，

要证，只需证，只需证，

只需证，只需证，

只需证，

∵，∴，， ∴，∴.

（2）∵，∴由柯西不等式知，

，

∴，

当且仅当向量与向量共线，即，，时取“＝”，

∴.

21．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)设不等式的解集为M，若，求实数a取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段打开绝对值，可解出不等式

（2）由题意，则原不等式可化为在上恒成立，从而可得出答案.

【详解】(1)当时，原不等式可化为：

当时，原不等式可化为，解得：   所以

当时，原不等式可化为，解得：   经检验，不符合题意，舍去

当时，原不等式可化为，解得：   所以

所以，综上所述，不等式的解集为

(2)∵不等式的解集为M，

∴不等式在上恒成立

∵   ∴   ∴原不等式可化为：

∴，即：在上恒成立

∴，解集：

故实数a的范围是

22．已知函数，．

(1)设，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得；

（2）根据已知对函数进行放缩，然后利用导数求最值可证.

【详解】(1)当时，，

∴

，∴

曲线在点处的切线方程为；

(2)∵，∴

∴当时，

令，，

令，易知令在上单调递增

又∵

∴当时，，则，∴单调递减

当时，，则，∴单调递增

，即

∴当时，