2021-2022学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年山东省烟台市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再根据补集和交集的定义即可得出答案.

【详解】解：或，

则，

所以.

故选：B.

2．设命题..则

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可直接写出结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题.的否定为：，.

故选C

【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词和结论即可，属于基础题型.

3．已知p：，q：，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数定义域、值域化简命题p，q，再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.

【详解】依题意，命题p：，命题q：，显然，

所以p是q的必要不充分条件.

故选：B

4．中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为（       ）

A．10米/秒 B．－10米/秒 C．5米/秒 D．－5米/秒

【答案】D

【分析】求导代入求解即可

【详解】由题意，，故该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为

故选：D

5．已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（       ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】先求出导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由切线与曲线只有一个公共点，进而联立得到的值.

【详解】的导数，

曲线在处切线斜率，

则曲线在处切线方程为，即

由于切线与曲线只有一个公共点，

联立，得

即解得

故选: A.

6．函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性与在时的正负判断即可

【详解】因为，且定义域为，即，故为奇函数，排除CD；又，排除B.

故选：A

7．设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.

【详解】令，因为

所以，当时，，单调递减，

所以，即，；

令，因为

所以，当时，，单调递增，

所以，即，，即.

综上，.

故选：B

8．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（       ）

A．－2 B．－1 C．2 D．

【答案】C

【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值

【详解】由，得，

当时，在上恒成立，

所以在上递增，

所以，解得（舍去），

当时，由，得或，

当时，在上恒成立，

所以在上递增，

所以，解得（舍去），

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），

当时，当时，，所以在上递减，

所以，解得，

综上，，

故选：C

二、多选题

9．已知是定义在上的奇函数，，则下列各式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】又函数为奇函数可得，，再结合即可得出答案.

【详解】解：因为是定义在上的奇函数，

所以，故A一定成立；

又，

所以，即，故C一定成立；

无法比较及的大小关系.

故选：AC.

10．关于函数，下列说法正确的有（       ）

A．f(x)为奇函数

B．f(x)为偶函数

C．f(x)的最小值为

D．对，，都有

【答案】BC

【分析】对AB，根据奇偶函数的定义判断即可；对C，求导分析函数的单调性判断即可；对D，举反例判断即可

【详解】对AB，因为，故为偶函数，故A错误，B正确；

对C，因为为偶函数， 为增函数，且，故在上，单调递减；在上，单调递增.故的最小值为，故C正确；

对D，当时，，，因为，故，此时，故D错误；

故选：BC

11．设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（       ）

A．A，B两点的横坐标之和为定值 B．A，B两点的横坐标之积为定值

C．直线AB的斜率为定值 D．P点横坐标的取值范围为（0，1）

【答案】BCD

【分析】设A、B坐标，求导可得，由得可判断B；由斜率公式可得AB的斜率可判断C；由方程解得P点横坐标，结合基本不等式可判断D；由C可知A错误.

【详解】记，，

由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则.

因为，，所以，

因为，所以，即，B正确；

的方程为，的方程为

联立方程组可求得点P横坐标

因为，所以，所以，D正确；

，C正确；

由C易知，A错误.

故选：BCD

12．若函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（       ）

A．为偶函数 B．

C． D．当时，

【答案】ACD

【分析】根据题意可得关于与对称，再根据对称性满足的等式化简，逐个选项判断即可

【详解】对A，因为函数为偶函数，故，故关于对称.又为奇函数，关于原点对称，故关于对称.综上，关于与对称. 关于对称有，关于对称有，，故，即，所以为偶函数，故A正确；

对B，由A，因为，，故B错误；

对C，由A，，故C正确；

对D，当时，，故，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知函数，若，则x的值为______．

【答案】或

【分析】根据分段函数，分和两种情况求解即可

【详解】当，即时，由，得，

，所以，得，

当，即时，，，解得，

综上或，

故答案为：或

14．设函数满足：对任意实数x都有，若在上恒成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】分别令和，可求出，从而可求得的解析式，然后求出在上的最小值即可

【详解】令，则，得，

令，则，得，

所以，

对称轴为，

所以当时，取得最小值，

所以的最小值为，

所以，即实数a的取值范围为，

故答案为：

15．已知m为方程的实数根，n为方程的实数根，则的值为______．

【答案】2

【分析】通过换元将方程变形，再构造函数，探讨函数性质即可计算作答.

【详解】令，方程化为：，依题意，是方程的实数根，

令函数，，

函数的图象上任意一点，它关于点对称点为，

有，，，

即点在函数的图象上，同理，函数图象上任意点关于点对称点也在函数图象上，

于是得函数的图象与函数的图象关于点对称，

函数，函数在各自的定义域上都是增函数，每个函数只有一个零点，

所以函数的零点与函数的零点关于点对称，.

故答案为：2

16．若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．

【答案】

【分析】设圆锥的高为，根据圆锥的体积公式将体积用表示，再利用导数求出函数的最大值即可得解.

【详解】解：设圆锥的高为，则底面圆的半径为，

故圆锥体积，

令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

即此圆锥体积的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．设集合，．

(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；

(2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出集合、，分析可知，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

（2）分析可知，求出集合，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】(1)解：由得，解得，所以，

因为是的必要条件，所以，

所以，，解得.

(2)解：由题意知，，

因为或，所以或，故或．

18．已知函数．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)讨论方程的解的个数．

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为

(2)见解析

【分析】（1）求导，根据导数的符号即可求出函数的单调区间；

（2）由（1）求出函数的极值，再以函数的极值为界限讨论，从而可得出结论.

【详解】(1)解：，

令得，或，

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；

(2)解：由（1）知，的单调递增区间为，，单调递减区间为，

当时，有极大值，

当时，有极小值，

当，，当，，

所以当或，的解有1个；

当或，的解有2个；

当，的解有3个．

19．已知是上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值；

（2）利用参变量分离法可得出，求出在上的值域，即可得出实数的取值范围.

【详解】(1)解：因为为奇函数，所以，即，

整理得．

因为上式对恒成立，所以．

(2)解：因为，所以，所以，

令，，

因为在上单调递增，因为，则，，

所以，，

所以要使在上有解，只需要．

因此，实数的取值范围是.

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点的坐标，结合点斜式方程，即可得到结果.

（2）利用参变分离法，将不等式化为，构造新函数，求出其导函数及二阶导函数，依次判断导函数的正负情况，得到函数的单调性，结合隐零点知识得到的最大值，即可求出m的取值范围.

【详解】(1)解：当时，，

所以，，．

所以曲线在处的切线方程为，

整理得．

(2)解：由已知得，在上恒成立，

即在上恒成立．

令，，

则，

令，则，

所以在上单调递增，

又因为，，

所以，使得，

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

所以，

由得，，

所以，

故，即的取值范围为．

21．如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为的扇形花圃OPQ，点A，B在弧上，且．小区物业计划在弓形ACB区域（阴影部分）种植观赏植物，域种植花卉，其余区域种植草皮，已知种植观赏植物的成本是每平方米80元，种植花卉的成本是每平方米40元，种植草皮的成本是每平方米60元．记，．

(1)用表示弓形ACB的面积；

(2)求种植总费用的最小值及相应的值．

【答案】(1)，

(2)当的值为时，总种植费用取最小值元

【分析】(1) 由，利用扇形及三角形面积公式即可;(2)先由题意将利润表示成的函数关系式，再利用导数判断函数单调性求得最大值即可.

【详解】(1)，，

，．

(2)（2）设种植总费用为元，由题意得，

令，

则，

令得，，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以当时，取得最小值，此时取得最小值，

，

故当的值为时，总种植费用取最小值元．

22．已知函数．

(1)讨论函数值点的个数；

(2)若函数在定义域内有两个不同的零点，，

①求a的取值范围；

②证明：．

【答案】(1)当时，无极值点；当时，有一个极小值点

(2)① ；②证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，再对分和两种情况讨论，分别得到函数的单调性，即可求出函数的极值点；

（2）①依题意参变分离可得在有两个不等实根，设，利用导数得到函数的单调性，求出函数的极大值，再根据函数值的取值情况，求出的取值范围；

②不妨设，则，依题意即证，令，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明；

【详解】(1)解：的定义域为，

当时，，在上单调递减，无极值点；

当时，令，得．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

故时，取得极小值．

综上，当时，无极值点；当时，有一个极小值点．

(2)解：①由题意，方程在有两个不等实根，

即在有两个不等实根，设，，过点，

则，令得，，

时，，单调递增，时，，单调递减，

且当时，，当时，，时，，

故实数的取值范围为．

②不妨设，由已知得，，

两式相减得，，

要证，只需证，只需证，

只需证，即证．

令，上述不等式变形为，

令，

则，，

所以在上单调递减，又，所以恒成立，

所以在上单调递增，又因为，故，

即，原不等式得证．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．