2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一下学期期末考试数学试卷含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021－2022年度哈尔滨市第九中学高一下学期期末考试数学学科试卷（考试时间：120分钟   满分：150分）Ⅰ卷（选择题，12小题，共60分）一、单项选择题（每题5分，共40分）1. 若复数z满足，则z的共轭复数为（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知，，，则（    ）A. 2 B.  C.  D. 3. 从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（    ）A. 18000 B. 15000 C. 12000 D. 100004. 如图一所示，某市月日至日的日均值（单位：）变化的折线图，则该组数据第百分位数为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（    ）A. 若，，则a与相交 B. 若，，，则C. 若，，，则a⊥b D. 若，，，则a⊥b6. 在平面四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，，，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 7. 梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 将地球看作一个以O为球心的球体，地球上点P的纬度是指OP与赤道面所成角的度数．一个地球仪，在其北半球某纬线圈上有A，B，C三点，其中AB＝2，，∠ABC＝60°，且三棱锥的体积为，则这个纬线圈的纬度为（    ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°二、多项选择题（全选对得5分，漏选得2分，有错误选项得0分）9. 在正方体中，下列说法正确的是（    ）A. 与垂直的面对角线有6条 B. 直线与直线所成的角为45°C. 直线与平面所成的角为45° D. 二面角的余弦值为10. 某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是（    ）A. 此次测试众数的估计值为85B. 此次测试分数在的学生人数为6人C. 随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80D. 平均数m在中位数n右侧11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 的面积为612. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（    ）A. 正方体在每个顶点的曲率均为B. 任意四棱锥的总曲率均为；C. 若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是；D. 若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数Ⅱ卷（主观题，10小题，共90分）三、填空题（单空题每题5分，双空题第一处答案正确得2分，第二处答案正确得3分）13. 如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．14. 为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于2022年采用“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成，则学生选课的情况有______种．15. 若是关于x的实系数方程的一根，则________．16. 满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，i，，当，均为单位向量，且时，______．四、解答题（共70分）17. 在直三棱柱中，AB＝AC，D为BC中点．
 （1）求证：AD⊥平面；（2）若，BC＝2，，求三棱锥的体积．18. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
 （1）判断的形状；（2）如图，延长BA至点D，连接CD，过A作交CD于E，若，AB＝5，，，求BC的长度．19. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格： 《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》同学A√√ √同学B√ √ 同学C √√ 同学D√√ √同学E√√   （1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率． 20. 如图，AB是⊙O直径，C，D是圆周上异于A、B且在直径AB同侧的点，，，P是平面ABC外一点，且．
 （1）设平面平面，求证：；（2）求PC与平面POD成角的正弦值．21. 某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取10件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：9.8    10.3    10.0    10.2    9.8    10.0    10.1   10.2   9.7    9.9，将该项指标的样本平均数记为，样本标准差记为s，总体平均数记为；（1）求与s（s精确到三位小数，参考数据：）（2）记样本量为n，查阅资料可知：关于的不等式的解集是总体平均数的一个较好的估计范围；①根据以上资料，求出该产品的总体平均数的估计范围；②在①的估计结果下，将指标不在总体平均数的估计范围内的产品称作“超标产品”．现从这10件样品中不放回随机抽取2件，将事件“抽到的2件产品都是超标产品”记为A，求．22. 如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使______，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①；②AC为四面体ABDC外接球的直径；③平面ABC⊥平面BCD．
 （1）判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；（2）求二面角的正弦值． 
答案1-5：BCCBA 6-8:BBB 9.AD 10.ABC 11.ABD 12.ABD 13. ##0.437514.1215.016. 17. 【小问1】因为三棱柱是直三棱柱，所以平面ABC，因为平面ABC，所以；因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，又因为，平面，平面所以AD⊥平面.【小问2】因为平面ABC，因为，D为BC中点，BC＝2；所以BD＝CD＝1，AD＝2，所以；所以.18. 【小问1】解：因为，所以，根据正弦定理，得，所以B＝C，所以为等腰三角形，【小问2】解：因为B＝C，所以AB＝AC＝5，因为，所以，因为，所以，所以DB＝6DA且AB＝5，所以AD＝1 ，，解得，所以，因为，所以∠BAC为锐角，所以，所以，所以BC＝6.19. 【小问1】设五位同学分别为a，b，c，d，e样本空间事件，则.【小问2】设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A，B，C，D，则一位同学恰好读过其中三本的概率为.故一位同学恰好读过其中三本书的概率为.20. 【小问1】连接OC、OD，∵，，∴，△BOC为等边三角形，∴，，∴，∴△COD为等边三角形，∴，∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB，∵平面PCD，平面平面，∴
【小问2】过C作于H，连接PH，∵，O为AB中点，∴，∴且，∴，∴，又∵平面ABCD，平面ABCD，，∴OP⊥平面ABCD，∵平面ABCD，所以OP⊥CH，又∵CH⊥OD，，平面POD，平面POD，∴CH⊥平面POD，∴CP与平面POD所成角为∠CPH，∵CH⊥平面POD，平面POD，∴CH⊥PH，所以∵△COD为等边三角形，所以，所以，∴PC与平面POD成角的正弦值为
 21. 【小问1】由题可知：，所以.【小问2】（i）因为，所以解得所以该产品总体平均数的估计范围为.（ii）由（i）有，所以样本中的10件产品共有6件超标产品，从这10件样品中不放回随机抽取2件，共有种情况，抽到的2件产品都是超标产品有种情况，故.22. 【小问1】若选①：，在中，，，，，可得，所以，又由，且,平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面．若选②：为四面体外接球的直径，则，可得，又由，且,平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面．若选③：平面平面，平面平面，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且,平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面．【小问2】若选①：∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，∴，∴；若选②：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴，在中，BC＝2，CD＝1，∴，又∵AB＝2，∴，即AB⊥BD，∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点，，∴，