2020-2021学年13.3.1 等腰三角形精练

　同步练习：等腰三角形

(60分)

一、选择题(每题6分，共30分)

1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (B)

A．80°           B．80°或20°

C．80°或50°          D．20°

2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为  (A)

A．40°        B．45°       C．60°       D．70°

【解析】　∵AE∥BD，

∴∠CBD＝∠E＝35°，

∴∠CBA＝70°，

∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，

∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.

3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝                                                                                                      (B)

A．36°         B．54°

C．18°         D．64°

【解析】　∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

∴∠A＝36°，

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°－36°＝54°.

4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)

A．6         B．7

C．8         D．9

【解析】　∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.

∵MN∥BC，

∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，

∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，

∴BM＝ME，EN＝CN.

∵MN＝ME＋EN，

∴MN＝BM＋CN.

∵BM＋CN＝9，

∴MN＝9，故选D.

5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为                                                                        (C)

A．1 cm         B．2 cm

C．3 cm         D．4 cm

【解析】　∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AN＝BN，

∵△BCN的周长是7 cm，

∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，

∴AN＋NC＋BC＝7(cm)，

∵AN＋NC＝AC，∴AC＋BC＝7(cm)，

又∵AC＝4 cm，∴BC＝7－4＝3(cm)．

二、填空题(每题6分，共30分)

6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是__20__.

7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图23－6②，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.

图23－6

【解析】　∵OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB＝18 cm.

8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝__15__°.

【解析】　∵DE垂直平分AB，

∴AD＝BD，∠AED＝90°，

∴∠A＝∠ABD，

∵∠ADE＝40°，

∴∠A＝90°－40°＝50°，

∴∠ABD＝∠A＝50°，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝65°，

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.

9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.

图23－8                    　　图23－9

10．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__3__.

三、解答题(共8分)

11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC.

又∵BD＝CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)．

(20分)

12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.

(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)

__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；

(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)

解：(2)选择①③⇒②，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

又∵BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE.

13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.

求证：(1)△AEF≌△CEB；

(2)AF＝2CD.

证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，

∴∠CFD＝∠B，

∵∠CFD＝∠AFE，

∴∠AFE＝∠B，

在△AEF与△CEB中，

∴△AEF≌△CEB(AAS)；

(2)∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2CD，

∵△AEF≌△CEB，

∴AF＝BC，

∴AF＝2CD.

(12分)

14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连结DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.

求证：AD＝CE.

图23－13

证明：如答图所示，作DG∥BC交AC于G，则∠DGF＝∠ECF，

在△DFG和△EFC中，

∴△DFG≌△EFC(AAS)，

∴GD＝CE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵DG∥BC，

∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，

∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，

∴△ADG是等边三角形，

∴AD＝GD，

∴AD＝CE.