2022-2023学年安徽省芜湖十一中分校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖十一中分校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 要使式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数中，一次函数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知一组数据，，，，，，，，，，那么是这组数据的(    )

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

5. 在四边形中，，比大，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是(    )

A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分

8. 已知正比例函数，函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在菱形中，是边上一点，且，有下列结论：；是等边三角形；是等腰三角形；，其中结论正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共4小题，共20分）

11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
12. 已知函数，则______．
13. 若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是______ 三角形．
14. 如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：
    若点是的中点，那么______；
    点，点两点之间距离的最大值是______．

三、解答题（本题共9小题，共90分）

15. 计算：．
16. 已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．
17. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千的长．

18. 已知：如图，，为的中点，为的中点求证：四边形是平行四边形．

19. 已知：一次函数
    若一次函数的图象过原点，求实数的值．
    当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数的取值范围．
20. 某超市预测某饮料有发展前途，用元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的倍，但单价比第一批贵元．
    第一批饮料进货单价多少元？
    若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于元，那么销售单价至少为多少元？
21. 为了解防疫知识宣传教育活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等级：基本合格，合，良好，优秀，制作了如图统计图部分信息未给出
    由图中给出的信息解答下列问题：
    求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
    这次测试成绩的中位数是什么等级？
    请你根据抽样测试的结果估计该校获得优秀的学生有多少人．
22. 如图，在▱中，点、分别是、的中点，分别连接、、．
    求证：；
    若四边形是菱形，求的度数．

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
    求点的坐标；
    求的面积；
    轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为，二次根式的被开方数是非负数，可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法运算，二次根式的性质，二次根式的加法运算分别计算，从而作出判断．
本题考查二次根式的性质，二次根式的运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是一次函数，故此选项错误；
B、是一次函数，故此选项正确；
C、不是一次函数，故此选项错误；
D、不是一次函数，故此选项错误；
故选：．
根据形如、是常数的函数，叫做一次函数进行分析即可．
此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，平均数为，
其方差为，
故选：．
将数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
利用四边形的内角和即可求出答案．
此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【解答】
解：如图：

小巷左右两侧是竖直的墙，
，
与均为直角三角形，
在中，
米，米，
米．
又梯子长度是不变的，
米，
在中，
米，，
，
，
，
米，
米．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形如下：

证明：四边形是矩形，
，
又点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
又点，分别是，边的中点，
是的中位线，
，
，
即，
故选：．
根据题意画出图形，由四边形是矩形，得出，又根据点，分别是边，的中点，得出是的中位线，从而得出，同理可得，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，借助图形充分抓住已知条件，围绕结论环环相加，步步逼近，结论便会得出来．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限；
故选A
由于正比例函数函数值随的增大而增大，可得，，然后，判断一次函数的图象经过象限即可．
本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当，时，图象过一、二、三象限；当，时，图象过一、三、四象限；，时，图象过一、二、四象限；，时，图象过二、三、四象限．
 

9.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，易证得≌，然后可证得，，即可得是等边三角形，然后可证得，即可判断正确，错误．
【解答】
解：如图，连接，

四边形是菱形，
，，，，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
是等边三角形，故正确；
，
，
，
；
故正确．
≌，
，
同理：，
但不一定等于，故错误．
综上所述，结论正确的是．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义建立关于的方程，求出的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
将代入即可得．
本题主要考查求函数值，将未知数的值代入函数解析式，根据解析式中的运算顺序计算即可得．
 

13.【答案】直角 

【解析】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形．
故答案为直角．
根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案．
本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
 

14.【答案】   

【解析】解：，是中点，
．
故答案为：．
如图：

，
当点，，三点共线时，取等号．
此时是的中点，
四边形是矩形，
，
．
最大．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
先确定最大时的条件，再求最值．
本题考查矩形性质，确定最值条件是求解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式


． 

【解析】在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：


且
即，故该三角形是等边三角形． 

【解析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为，则这几个非负数同时为，从而判断出该三角形的形状．
 

17.【答案】解：设，
由题意可得出：，
，
在中，，
，
解得：，
答：秋千的长为． 

【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设，在中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
 

18.【答案】证明：为的中点，为的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】证出是的中位线，得，则，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：一次函数图象过原点，
，
解得：
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，
． 

【解析】根据一次函数的性质即可求出的取值范围．
本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为元．
设销售单价为元，
则第一批进货数量为：瓶，
第二次进货数量为：瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：销售单价至少为元． 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，根据数量总价单价结合第二批饮料的数量是第一批的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设销售单价为元，根据获利不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值，即可得出结论．
 

21.【答案】解：人，
人，
补全频数分布直方图如下：

将名学生的测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在良好，
人，
答：该校名学生中，获得优秀的学生有人． 

【解析】从两个统计图中可知“基本合格”的有人，占调查人数的，根据频率可求出调查人数，进而求出“合格”人数，补全频数分布直方图；
根据中位数的意义，可得到中位数是什么等级；
求出样本中“优秀”所占的百分比，即可估计总体中“优秀”的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，中位数、理解中位数的意义，掌握频率是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
点、分别是、的中点，
，．
．
在与中，
，
；
解：四边形是菱形，
．
．
，
．
．
，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．
根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
由题意易得，因为，所以，问题得解．
 

23.【答案】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为．
在中，，，
．
由折叠的性质，可知：，，
，
点的坐标为；

由折叠的性质，可知：，
，，，
．
又，
．
在和中，
，
≌，
；

存在，设点的坐标为，则．
，即，
，
，
解得：或，
轴上存在一点，使得，点的坐标为或． 

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长度，由折叠的性质可得出，结合可得出的长度，进而可得出点的坐标；
由，，利用三角形内角和定理可得出，由利用角平分线的性质可得出，进而可得出≌，再利用全等三角形的性质及三角形的面积公式可求出的面积；
设点的坐标为，则，利用三角形的面积公式可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征及折叠的性质，找出点，，的坐标；利用全等三角形的判定定理证出≌；利用三角形的面积公式结合，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．