2022-2023学年安徽省宣城市奋飞学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

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2022-2023学年安徽省宣城市奋飞学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列函数：；；；，是二次函数的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 甲，乙、丙、丁四名同学进行体温测量，他们天的平均体温都是度，方差分别是，，，，则体温最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 若为方程的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，分别是，，的中点，则下列命题是假命题的是(    )

A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形一定是矩形
C. 若，，则四边形一定是正方形
D. 若是等腰三角形，则四边形一定是菱形
 

8. 如图，在▱中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

10. 如图，在矩形中，，为上一点，，为上一动点，将沿折叠，使点与点重合，若点到的距离为，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 化简：______．
12. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装，语言表达、举止形态这三项的得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是______分．
13. 若一个正多边形的内角和为，则这个多边形一个外角的大小为______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，，直线经过点且与轴平行，是直线上一动点，以为边向右作正方形．
    点的坐标是______用含的式子表示．
    当时，______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：．
16. 本小题分
    解方程：．
17. 本小题分
    如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
    在图中作出以和为边长的平行四边形，且点、都在小正方形的顶点上．
    在图中作出一个以线段为对角线、面积为的矩形，且点、都在小正方形的顶点上．
     

18. 本小题分

已知一个二次函数的图象经过，，三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．

19. 本小题分
    如图，在中，，，，，求的面积．
    如图，在中，，，，求的面积．

20. 本小题分
    如图，在▱中，是对角线，，，垂足分别为点，，连接，．
    求证：四边形是平行四边形．
    若，，求的长．

21. 本小题分
    在学期结束之前，为了解八年级学生的体育运动水平，我校对全体八年级同学进行了体能测试，体育组孙老师随机抽取名男生和名女生的测试成绩满分进行整理和分析成绩共分成五组：，，，，，并绘制了不完整的统计图表．
    
    收集、整理数据
    名男生的体能测试成绩分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    女生体能测试成绩在组和组的分别为，，，，，，，，．
    分析数据
    两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：

请根据以上信息，回客下列问题：
补全频数分布直方图．
填空：______，______．
根据以上数据，你认为八年级学生是男生的体能测试成绩更好还是女生的体能测试成绩更好？并说明理由．
如果我校八年级有男生名，女生名，请估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数．

22. 本小题分
    随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了万辆，第三季度销售了万辆．
    求前三季度销售量的平均增长率．
    某厂家目前只有条生产线，经调查发现，条生产线最大产能是辆季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少辆季度．
    现该厂家要保证每季度生产电动汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下生产线越多，投入成本越大，应该再增加几条生产线？
    是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
23. 本小题分
    在矩形中，为上一点，平分交于点．
    
    如图，．
    求证：．
    若为的中点，求证：．
    如图，若，，为的中点，求线段的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件，分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的加法，除法，分母有理化，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：；；，是二次函数，共个，
故选：．
利用二次函数定义进行分析即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，，
丙的方差最小，
这名同学中体温最稳定的是丙，
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：为方程的解，
，
，
，
故选：．
由题意可得，再由，代入求值即可．
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作轴于，过作轴于，
则四边形是矩形，
，，
点，
，
，
四边形是菱形，
，
，，
点的坐标为，
故选：．
过作轴于，过作轴于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
选项A是真命题，不符合题意，
若，又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
选项B是真命题，不符合题意，
若，，则四边形是矩形，且，
四边形一定是正方形，
选项C是真命题，不符合题意；
若，则四边形不一定是菱形，
选项D是假命题，符合题意；
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握正方形，矩形定，菱形，平行四边形的判定．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
，
．
故选：．
先证，则，同理可证，进而得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：三角形是等腰三角形，
，或；两种情况，
当，或时，
，是关于的一元二次方程的两个根，
，
把代入得，，
解得：，
当，方程的两根是和，而，，不能组成三角形，
故不合题意，
当时，方程有两个相等的实数根，

解得：．
故选：．
由三角形是等腰三角形，得到，或；；当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作交于，交于，过作于，如图：

四边形，四边形是矩形，
，，
点到的距离为，
，
将沿折叠，使点与点重合，
，
在中，
，
设，则，，且，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
过作交于，交于，过作于，在中，可得，设，则，，且，在中，有，即可解得．
本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可．
本题考查了二次根式的加减，是基础知识比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：分，
该选手的成绩是分．
故答案为：．
根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正多边形是边形，则
，
解得．
，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式及外角和定理是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，交直线于，

直线经过点且与轴平行，
直线，，，直线，
，
四边形是正方形．
，，
，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
点的坐标是，
故答案为：；

连接，过点作轴于，过点作轴于，交直线于，

，，
，
中，，
，
或，
，
，
故答案为：．
过点作轴于，过点作轴于，交直线于，证明≌，根据全等三角形的性质即可求解；
利用勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键．
 

15.【答案】解：



． 

【解析】先算乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
或，
或． 

【解析】用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，四边形即为所求．
 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设二次函数的解析式为，把，，各点代入上式得
，
解得．
则抛物线解析式为；
由可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 

【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：；顶点式，其中顶点坐标为；交点式，抛物线与轴两交点为，．
设二次函数的解析式为，把，，三点坐标代入，列方程组求、、的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．
 

19.【答案】解：，
，
，，，
，，
，
；
过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用勾股定理分别得出，的长，再利用三角形面积公式求出即可；
过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出的长，利用三角形面积公式可求出答案．
此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出，的长是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
由可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定定理即可得出结论
由等腰直角三角形的性质得，再由平行四边形的性质得，则，求出，然后由勾股定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：名男生的体能测试成绩分的人数为人，
补全直方图如下：

男生成绩的众数，女生成绩的中位数，
故答案为：、；
男生的体能测试成绩更好，理由如下：
因为男生体能测试成绩的平均数大于女生，所以男生体的体能测试成绩更好；
样本中女生、组人数为人，组人数为人，
女生体能测试成绩不低于分的学生人数为人，
所以估计七年级体能测试成估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数为人．
答：估计八年级体能测试成绩不低于分的学生人数为人．
根据频数分布直方图及各组人数之和等于被调查总人数即可补全图形；
根据众数和中位数的概念求解即可；
从平均数和众数及中位数的意义求解即可；
先求出女生体能测试成绩不低于分的学生人数，再用总人数乘以样本中体能测试成绩不低于分的学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

22.【答案】解：设前三季度销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：前三季度销售量的平均增长率为．
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要节省投入成本，
．
答：应该再增加条生产线．
不能，理由如下：
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆． 

【解析】设前三季度销售量的平均增长率为，利用第三季度的销售量第一季度的销售量前三季度销售量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入成本，即可得出应该再增加条生产线；
不能，设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车万辆，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

23.【答案】证明：在图中，将绕点逆时针旋转，点对应的点为点，点对应的点为点，

由旋转可知：，，，．
，
点和点重合．
平分，
．
，，
，
，
；

证明：过点作于点，如图所示．

平分，
．
在和中，
，
≌，
．
同理，可证出≌，
，
；

解：在图中，过点作于点．

由可知：≌，≌，
，．
又，
．
，，为的中点，
．
设，则，，，．
在中，，
即，
解得：，
． 

【解析】在图中，将绕点逆时针旋转，点对应的点为点，点对应的点为点，由旋转的性质及可得出，根据各角之间的关系可找出，再利用等角对等腰即可得出，即；
过点作于点，如图所示，易证≌，≌，利用全等三角形的性质可得出，，进而可证出；
在图中，过点作于点，由可得出≌，≌，利用全等三角形的性质及角的计算，可找出，设，在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可求出的值，再结合，即可求出的长．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，角平分线的定义、角平分线的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：通过旋转，构造等腰三角形；利用全等三角形的性质，找出及；利用勾股定理，求出的长．