2022-2023学年安徽省芜湖十一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖十一中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲，乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5. 在下列四个选项中，不符合直线的性质的是(    )

A. 经过第一、二、三象限 B. 随的增大而增大
C. 与轴相交于点 D. 与轴相交于点

6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在四边形中，，下列条件，不能得出四边形是平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知一次函数不经过第三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中不一定正确的是(    )

A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等边三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形
 

10. 在一次体育小游戏中，甲、乙两位同学分别在相距米跑道的端和端，同时出发，相向匀速运动，分别到各自的终点、处便停止运动．设甲同学运动的时间为秒，甲、乙在运动过程中的距离为米，其图象如图所示：
    则下列结论中正确的有个(    )
    甲的速度是米秒；
    甲乙相遇时乙走了米；
    当秒时，乙到达终点；
    乙到终点时，甲乙相距米

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

11. 如果有意义，那么的取值范围是______．
12. 如图，▱的对角线，交于点，是边的中点，连接，若，则的长是______．

13. 点、是直线上的两点，则______填“”或“”或“”．
14. 如图，已知直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．

15. 如图，菱形中，对角线在轴的正半轴上，且，直线过点，则菱形的面积是______．

三、解答题（本大题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
17. 本小题分
    如图，在▱中，平分，且与边交于点，，证明：四边形是矩形．

18. 本小题分
    如图，已知函数和的图象交于点，
    求出点的坐标；
    求两函数图象与轴围成的图形面积．

19. 本小题分
    随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图和图，根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受随机抽样调查的学生人数为______图中的值为______；
    求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
    根据样本数据，估计该校学生家庭中，拥有台移动设备的学生人数．
20. 本小题分
    电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为元件的新商品，在试销中发现：销售单价元与每天销售量件之间满足如图所示的关系．
    求与之间的函数关系式；
    若某天小张销售该产品获得的利润为元，求销售单价的值．

21. 本小题分
    已知：如图，在边长为的正方形中，点是对角线上的一个动点与点、不重合，过点作，交边于点，过点作，垂足为．
    求证：；
    在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开的尽的因数，故B错误；
C、被开方数含开的尽的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故D正确；
故选：．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
利用勾股定理逆定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，有两个不相等实数根；
B.中，有两个不相等实数根；
C.，即中，有两个不相等实数根；
D.中，没有实数根；
故选：．
根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
 

4.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大，
，
故选：．
利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线，，，
该直线经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
随的增大而增大，故选项B不符合题意；
与轴相交于点，故选项C符合题意；
与轴相交于点，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题目中的直线解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，即．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能得出四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，
，
，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象不经过第三象限，
则经过第二、四象限或第一、二、四象限，
只经过第二、四象限，则．
又由时，直线必经过二、四象限，故知，即．
再由图象过一、二象限，即直线与轴正半轴相交，所以．
故．
故选：．
根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【解答】
解：点，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，
故A正确
若，则，
四边形是矩形，
故B正确
若四边形是菱形，则，
，
是等腰三角形，
故C不一定正确；
若四边形是正方形，则，
，
是等腰直角三角形，
故D正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲的速度为米秒，故结论正确；
乙的速度为：米秒，
则，故结论正确；
米，
即甲乙相遇时乙走了米，故结论正确；
乙到终点时，甲乙相距：米，故结论正确．
所以结论中正确的有个．
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值，进而得出乙到终点时，甲乙两人的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
，
，
故答案为．
只要证明是的中位线即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点、是直线上的两点，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，直线：在直线：的上方，于是得到不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是考试重点．
 

15.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，

四边形是菱形，
，，
则点的横坐标为，
直线过点，
，
解得：，
点的坐标为：，
，
．
故答案为：．
首先设与相交于点，由四边形是菱形，可求得点的横坐标，又由直线过点，可求得点的坐标，继而求得的长，则可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及一次函数的性质．注意求得点的坐标是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
 

17.【答案】证明：四边形为平行四边形


平分，


四边形是矩形 

【解析】利用已知证明为即可．
本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．
 

18.【答案】解：联立，
解得，
点坐标为．
由和可知两条直线与轴的交点分别为，，
两函数图象与轴围成的图形面积为：． 

【解析】联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点的坐标．
求得两直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了两条直线的交点，求两函数图象的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可；也考查了求三角形面积．
 

19.【答案】  ；  ；
这组样本数据中，出现了次，出现次数最多，
这组数据的众数为；
将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为，有，
这组数据的中位数是；
由条形统计图可得，
这组数据的平均数是．
名．
答：估计该校学生家庭中；拥有台移动设备的学生人数约为名． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
根据家庭中拥有台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数，将拥有台移动设备的人数除以总人数可得的值；
根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
将样本中拥有台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数即可．
【解答】
解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：名，
图中的值为；
故答案为：；；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：．
故与的函数关系式为；

由题意得：，
解得：，或．
答：某天小张销售该产品获得的利润为元，则销售单价为元或元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，根据所给函数图象列出关于、的关系式，求出、的值即可；
根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于、的关系式和列出方程是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明：过点作于，过点作于，如图．

四边形是正方形，
，，
．
，．
，即，
．
在和中，
．
≌，
．
解：连接，如图．

四边形是正方形，
．
，即，
．
，即，
．
在和中，
≌，
．
四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
点在运动过程中，的长度不变，值为． 

【解析】过点作于，过点作于，如图要证，只需证到≌即可；
连接，如图易证≌，则有，只需求出的长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．