湖南省长沙市四校联考2022-2023学年高二上学期9月阶段考试数学试题及答案

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参考答案一、单项选择题：ABCB    CCCC二、多项选择题：9．AC     10．ACD    11．BCD    12．ACD三、填空题13．   正数，满足，，即，解得，故，当且仅当时取等号．的最大值为，14．    在上的投影数量为，解得（舍）或.15．     ##     如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，因为菱形的边长为2，，所以，，故四面体的体积为；当四面体的体积为1时，此时，解得：，，即O，F两点重合，即PO⊥底面BCD，如图2，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为.故答案为：，16．          依题意作出图形，设，，，即可得到，从而求出、 ，利用等体积法求出点到平面的距离，最后再求外接球的直径；【详解】解：不妨设，，，设在底面的射影为，分别作于点，于点，于点，则，，.依题意，为的内心，则，故，又，，，所以，所以，令，，.底面的最长边长为10，可得，解得，所以，，.设内切圆半径为，则，因为，即，解得，故，由，，得，所以，所以.设点到平面的距离为，由，，所以，所以；∵，∴点在以为直径的圆上，取中点为，则以为直径的圆的圆心为点，设三棱锥的外接球球心为点，连接，易知平面，又平面，则，过点作交于点，∵平面，平面，∴，即，∴四边形为矩形，则，，在平面上建立如图所示直角坐标系，则，，，，， 设，若点在线段上，则，，在直角中，即，解得，故点在线段的延长线上，则，同理可得，解得，所以三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球的直径为.17.解：（1）；（2）假设存在点，使，设，，显然，，因为，所以，即，，，，，，，即，解得，所以当时，18.解：（1）问题转化为关于的方程在，上有且仅有一个实根，作出函数在，上的图像（如右图），，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，所以实数的取值范围是；（2）记，其中，因为函数在，上单调递增，若存在实数，使得的值域为，，则（a），（b），所以，即，是的两个不等正根，所以△，，，解得，所以实数的取值范围是．19.解：（1）由题意，，，，，矩形的面积为：，，，当时，即时，的最大值为．（2）由（1）得，，，由余弦定理得，，即，，的周长为．20．【详解】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为，解得.（2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.，，可得，解得：（3）由（2）知∴当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，所以当时，取得最小值，且;当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.综上所述，当时，取得最小值，且.故该商品的日销售收入的最小值为121元.21．【详解】（1）连接，底面是菱形，是正三角形．点是边的中点，平面．（2）过在平面内做于，连接，由（1）知面，为在面内的射影．直线与平面所成角的大小为．为正三角形，．在中，．为二面角的平面角，在中，．故二面角的大小为．22．(1)命题为真命题，证明见解析(2)(3)（1）根据基本不等式判断即可；（2）令，进而根据题意得恒成立，再结合函数单调性求解即可；（3）由题知，再研究函数的单调性得其在上递增，故解不等式即可得答案.(1)解：命题为真命题，证明如下：由题得，则，所以该命题为真命题；(2)解：令，则恒成立，又在区间上单调递增，所以当时，，所以；(3)解：根据题意在上恒成立，即，令，取，则，因为，，则，，则，所以，所以函数在上递增，故，解得或，所以.