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初中数学8下2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷含答案含答案
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这是一份初中数学8下2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷含答案含答案，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x＞﹣5
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=2a2 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12 D．（﹣a2）2=a4
8．若（x+k）（x﹣5）的积中不含有x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣5或5 C．﹣5 D．5
9．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的两边分别为a和b，且a和b满足|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．杨絮纤维的直径约为0.000 010 5m，该直径用科学记数法表示为 ．
12．因式分解：x2﹣2xy+y2= ．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 ．
14．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
15．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
16．观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b），其中a=2，b=﹣1．
18．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．
求证：∠E=∠F．
19．如图，点D是∠AOB内一点，点E是OD上一点，DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，DM=DN．求证：EP=EQ．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．先化简，再求值：，再从﹣2，0，2中选一个适合的x的值代入求值．
[来源:学科网ZXXK]
21．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
24．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】三角形的稳定性；多边形．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：具有稳定性的图形是三角形．
故选A．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【考点】三角形的外角性质．[来源:Z。xx。k.Com]
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x＞﹣5
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≠0，
解得x≠5．
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
6．如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先证明△ABE≌△ACF，就可以根据全等三角形的对应边的比相等，即可求得AC、AE的长，即可得到EC的长．
【解答】解：在△ABE与△ACF中，
∵，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AC=AB=5
∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，
故选B
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=2a2 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12 D．（﹣a2）2=a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变；同底数幂的除法底数不变指数相减；同底数幂的乘法底数不变指数相加；积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
8．若（x+k）（x﹣5）的积中不含有x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣5或5 C．﹣5 D．5
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由积中不含x的一次项求出k的值即可．[来源:Z|xx|k.Com]
【解答】解：（x+k）（x﹣5）=x2﹣5x+kx﹣5k=x2+（k﹣5）x﹣5k，
由积中不含x的一次项，得到k﹣5=0，
解得：k=5．
故选D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】解：依题意得： =，故选C．
【点评】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值．
10．已知等腰三角形的两边分别为a和b，且a和b满足|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【分析】首先根据|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，
∴a﹣4=0，2a﹣b=0，
解得：a=4，
∴b=8，
当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当8为腰时，三边为8，8，4，符合三角形三边关系定理，周长为：8+8+4=20．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据4，8，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．杨絮纤维的直径约为0.000 010 5m，该直径用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
【解答】解：0.000 0105=1.05×10﹣5 ，
故答案为：1.05×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．因式分解：x2﹣2xy+y2= （x﹣y）2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式直接解答即可．
【解答】解：原式=（x﹣y）2．
故答案为（x﹣y）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （3，2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 AC=BD（或∠CBA=∠DAB） （只填一个）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．
【解答】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，
所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；
补充AC=BD便可以根据SSS证明．
故补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
故答案是：AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
15．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
16．观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．
【解答】解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
=••••••…
=．
故答案为：．
【点评】此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b），其中a=2，b=﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）
=2ab+10b2+3a2﹣2ab
=10b2+3a2，
当a=2，b=﹣1时，原式=10×（﹣1）2+3×22=22．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．
求证：∠E=∠F．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先根据AE∥CF可得∠A=∠FCD，再加上条件AB=CD，AE=CF可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得∠E=∠F．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠A=∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠F．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
19．如图，点D是∠AOB内一点，点E是OD上一点，DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，DM=DN．求证：EP=EQ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的性质得出点D在∠AOB的角平分线上，再利用角平分线的性质证明即可．
【解答】证明：∵DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，DM=DN，
∴点D在∠AOB的角平分线上，
∵EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，
∴EP=EQ．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出点D在∠AOB的角平分线上．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．先化简，再求值：，再从﹣2，0，2中选一个适合的x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
=
=
=，
把x=0代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作BD平分∠ABC；
（2）先判断DE垂直平分BC，则DB=DC，根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠C=32°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠DBC=64°，然后根据三角形内角和计算∠A的度数．
【解答】解：（1）如图1，BD为所作；
（2）如图2，
∵DE⊥BC，BE=CE，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=64°，
∴∠A=180°﹣64°﹣32°=84°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× 275 = 572 ×25；
② 63 ×396=693× 36 ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
【解答】解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
24．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设第一次所购水果的进货价是每千克多少元，由题意可列方程求解．
（2）求出两次的购进千克数，根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
【解答】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元，依题意，得
，
解得，x=5，经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次进货价为5元；
（2）第一次购进：500÷5=100千克，第二次购进：3×100=300千克，
获利：[100×（1﹣5%）×8﹣500]+[300×（1﹣2%）×8﹣1650]=962元．
答：第一次所购水果的进货价是每千克5元，该水果店售完这些水果可获利962元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB==90°﹣∠α，根据角的和差即可得到结论；
（2）连接AD；根据已知条件得到∠ABD=∠EBC，推出△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠ECB，证得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=∠α，根据三角形的内角和得到∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，求得∠BCE=150°，即可得到结论．
（3）根据已知条件得到△DEC为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DC=DE=BC，根据三角形的内角和得到∠EBC=15°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=∠α，
∴∠ABC=∠ACB=
=90°﹣∠α
∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE
=90°﹣∠α﹣60°
=30°﹣∠α；
（2）DC与CE垂直；
连接AD；
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，
即∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠ADB=∠ECB，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，[来源:学科网]
∴∠BAD=∠CAD=∠α，
∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，
∴∠BCE=150°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
即DC与CE垂直；
（3）∵∠DCE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰三角形，[来源:Z&xx&k.Com]
∴DC=DE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=15°，
∵∠EBC=30°﹣∠α=15°，
∴∠α=30°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x＞﹣5
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=2a2 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12 D．（﹣a2）2=a4
8．若（x+k）（x﹣5）的积中不含有x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣5或5 C．﹣5 D．5
9．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的两边分别为a和b，且a和b满足|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．杨絮纤维的直径约为0.000 010 5m，该直径用科学记数法表示为 ．
12．因式分解：x2﹣2xy+y2= ．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 ．
14．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
15．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
16．观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b），其中a=2，b=﹣1．
18．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．
求证：∠E=∠F．
19．如图，点D是∠AOB内一点，点E是OD上一点，DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，DM=DN．求证：EP=EQ．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．先化简，再求值：，再从﹣2，0，2中选一个适合的x的值代入求值．
[来源:学科网ZXXK]
21．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
24．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
2017-2018学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】三角形的稳定性；多边形．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：具有稳定性的图形是三角形．
故选A．
【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【考点】三角形的外角性质．[来源:Z。xx。k.Com]
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x＞﹣5
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣5≠0，
解得x≠5．
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
6．如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先证明△ABE≌△ACF，就可以根据全等三角形的对应边的比相等，即可求得AC、AE的长，即可得到EC的长．
【解答】解：在△ABE与△ACF中，
∵，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AC=AB=5
∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，
故选B
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=2a2 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12 D．（﹣a2）2=a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变；同底数幂的除法底数不变指数相减；同底数幂的乘法底数不变指数相加；积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
8．若（x+k）（x﹣5）的积中不含有x的一次项，则k的值是（ ）
A．0 B．﹣5或5 C．﹣5 D．5
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由积中不含x的一次项求出k的值即可．[来源:Z|xx|k.Com]
【解答】解：（x+k）（x﹣5）=x2﹣5x+kx﹣5k=x2+（k﹣5）x﹣5k，
由积中不含x的一次项，得到k﹣5=0，
解得：k=5．
故选D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】解：依题意得： =，故选C．
【点评】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值．
10．已知等腰三角形的两边分别为a和b，且a和b满足|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【分析】首先根据|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵|a﹣4|+（2a﹣b）2=0，
∴a﹣4=0，2a﹣b=0，
解得：a=4，
∴b=8，
当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当8为腰时，三边为8，8，4，符合三角形三边关系定理，周长为：8+8+4=20．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据4，8，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．杨絮纤维的直径约为0.000 010 5m，该直径用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
【解答】解：0.000 0105=1.05×10﹣5 ，
故答案为：1.05×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．因式分解：x2﹣2xy+y2= （x﹣y）2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式直接解答即可．
【解答】解：原式=（x﹣y）2．
故答案为（x﹣y）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （3，2） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 AC=BD（或∠CBA=∠DAB） （只填一个）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．
【解答】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，
所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；
补充AC=BD便可以根据SSS证明．
故补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
故答案是：AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
15．若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
16．观察规律并填空
（1﹣）=•=；
（1﹣）（1﹣）=•••==
（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；
…
（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）= ．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．
【解答】解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
=••••••…
=．
故答案为：．
【点评】此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：b（2a+5b）+a（3a﹣2b），其中a=2，b=﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：b（2a+5b）+a（3a﹣2b）
=2ab+10b2+3a2﹣2ab
=10b2+3a2，
当a=2，b=﹣1时，原式=10×（﹣1）2+3×22=22．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．
求证：∠E=∠F．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先根据AE∥CF可得∠A=∠FCD，再加上条件AB=CD，AE=CF可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得∠E=∠F．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠A=∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠F．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
19．如图，点D是∠AOB内一点，点E是OD上一点，DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，DM=DN．求证：EP=EQ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线的性质得出点D在∠AOB的角平分线上，再利用角平分线的性质证明即可．
【解答】证明：∵DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，DM=DN，
∴点D在∠AOB的角平分线上，
∵EP⊥OA于P，EQ⊥OB于Q，
∴EP=EQ．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出点D在∠AOB的角平分线上．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．先化简，再求值：，再从﹣2，0，2中选一个适合的x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
=
=
=，
把x=0代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作BD平分∠ABC；
（2）先判断DE垂直平分BC，则DB=DC，根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠C=32°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠DBC=64°，然后根据三角形内角和计算∠A的度数．
【解答】解：（1）如图1，BD为所作；
（2）如图2，
∵DE⊥BC，BE=CE，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=64°，
∴∠A=180°﹣64°﹣32°=84°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× 275 = 572 ×25；
② 63 ×396=693× 36 ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
【解答】解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
24．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元．
（1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设第一次所购水果的进货价是每千克多少元，由题意可列方程求解．
（2）求出两次的购进千克数，根据利润=售价﹣进价，可求出结果．
【解答】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元，依题意，得
，
解得，x=5，经检查，x=5是原方程的解．
答：第一次进货价为5元；
（2）第一次购进：500÷5=100千克，第二次购进：3×100=300千克，
获利：[100×（1﹣5%）×8﹣500]+[300×（1﹣2%）×8﹣1650]=962元．
答：第一次所购水果的进货价是每千克5元，该水果店售完这些水果可获利962元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示．
（1）直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC=45°，求α的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB==90°﹣∠α，根据角的和差即可得到结论；
（2）连接AD；根据已知条件得到∠ABD=∠EBC，推出△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠ECB，证得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=∠α，根据三角形的内角和得到∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，求得∠BCE=150°，即可得到结论．
（3）根据已知条件得到△DEC为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DC=DE=BC，根据三角形的内角和得到∠EBC=15°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=∠α，
∴∠ABC=∠ACB=
=90°﹣∠α
∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE
=90°﹣∠α﹣60°
=30°﹣∠α；
（2）DC与CE垂直；
连接AD；
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，
即∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠ADB=∠ECB，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，[来源:学科网]
∴∠BAD=∠CAD=∠α，
∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，
∴∠BCE=150°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
即DC与CE垂直；
（3）∵∠DCE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰三角形，[来源:Z&xx&k.Com]
∴DC=DE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=15°，
∵∠EBC=30°﹣∠α=15°，
∴∠α=30°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
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