2018-2019学年湖南省长沙市中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷

这是一份2018-2019学年湖南省长沙市中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年湖南省长沙市中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（3分）为了了解长沙市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．长沙市2018年中考数学成绩
B．被抽取的400名考生
C．被抽取的400名考生的中考数学成绩
D．400
3．（3分）若一个三角形两边长分别是3、7，则第三边长可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．11
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．30°
5．（3分）已知是方程2x﹣ay＝3b的一个解，那么a﹣3b的值是（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
6．（3分）平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
8．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b
9．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
10．（3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
11．（3分）某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余．若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）的平方根为 　 　．
14．（3分）满足x﹣5＜3x+1的x的最小整数是　 　．
15．（3分）如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是　 　．

16．（3分）已知正n边形的每个内角为135度，则这个正多边形的边数n的值为　 　．
17．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有　 　对．

18．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）B（0，4）把△AOB按如图标记的方式连续做旋转变换，这样得到的第2017个三角形中，O点的对应点的坐标为　 　．

三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1）﹣﹣
（2）|﹣|++2（﹣1）
20．（6分）解方程组与不等式组
（1）解方程组：
（2）解不等式组：
21．（8分）为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．

组别
课外阅读t（单位：时）
A
X＜2
B
2≤x＜3
C
3≤x＜4
D
x≥4
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）一共调查了　 　名学生；
（2）扇形统计图中A组的圆心角度数　 　；
（3）直接补全条形统计图
（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？
22．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．
（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？
（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．

23．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．

24．（9分）某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．
25．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
26．（10分）已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．
（1）求A点坐标．
（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG＝45°，设OF＝a，AG＝b，FG＝c，试探究﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．


2018-2019学年湖南省长沙市中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的概念，无限不循环小数叫做无理数．
2．（3分）为了了解长沙市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．长沙市2018年中考数学成绩
B．被抽取的400名考生
C．被抽取的400名考生的中考数学成绩
D．400
【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案．
【解答】解：为了了解长沙市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，
在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩．
故选：C．
【点评】此题主要考查了样本的定义，正确把握定义是解题关键．
3．（3分）若一个三角形两边长分别是3、7，则第三边长可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．11
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣3＜x＜7+3，
则4＜x＜10，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．30°
【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
5．（3分）已知是方程2x﹣ay＝3b的一个解，那么a﹣3b的值是（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【分析】根据方程的解得定义，将x、y的值代入方程后移项可得答案．
【解答】解：根据题意，将代入方程2x﹣ay＝3b，得：
2+a＝3b，
∴a﹣3b＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查对二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解题意并能得到关于a、b的等式是解此题的关键．
6．（3分）平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标符号得出答案．
【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第三象限内，
∴a＜0，﹣b＜0，
则b＞0，
故点B（b，a）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；
故选：D．
【点评】考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
8．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由数轴可得，
﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜b，故选项A错误，
|a|＞|b|，故选项B错误，
ab＜0，故选项C错误，
﹣a＞b，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
10．（3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a≥﹣2，由此求得a的取值．
【解答】解：，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式组：不等式组有解，
∴a＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组有解的条件，属于中档题．
11．（3分）某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余．若设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可．
【解答】解：设安排x个工人加工桌子，y个工人加工椅子，
由题意得，即．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）的平方根为 　±3　．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵＝9
∴的平方根为±3．
故答案为：±3．
【点评】此题考查了平方根，算术平方根等知识，属于基础题，掌握定义是关键．
14．（3分）满足x﹣5＜3x+1的x的最小整数是　﹣2　．
【分析】先解出不等式的解集，再求其最小整数解．
【解答】解：∵不等式x﹣5＜3x+1的解集是x＞﹣3，
∴满足x﹣5＜3x+1的x的最小整数是﹣2．
【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．（3分）如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是　16　．

【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
16．（3分）已知正n边形的每个内角为135度，则这个正多边形的边数n的值为　8　．
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数n．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数n＝＝8，
∴该正多边形为正八边形，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，解答本题的关键是运用多边形的外角和为360°．
17．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有　6　对．

【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难．
【解答】解：∵AD∥BC，OE＝OF，
∴∠FAC＝∠BCA，
又∠AOF＝∠COE，
∴△AFO≌△CEO，
∴AO＝CO，
进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD
共有6对．
故填6
【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏．
18．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）B（0，4）把△AOB按如图标记的方式连续做旋转变换，这样得到的第2017个三角形中，O点的对应点的坐标为　（8064，0）　．

【分析】由题意得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2017÷3＝672…1，于是可判断三角形2017与三角形1的状态一样，然后计算672×12即可得到三角形2017的直角顶点O的坐标．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得，AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵△OAB每连续变换3次后与原来的状态一样，
2017÷3＝672…1，
∴第2017个三角形的直角顶点是第673个循环组第一个三角形的直角顶点，
∴三角形2017的直角顶点O的横坐标＝672×12＝8064，
∴三角形2017的直角顶点O的坐标为（8064，0），
故答案为：（8064，0）．
【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣旋转，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
（1）﹣﹣
（2）|﹣|++2（﹣1）
【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的定义计算，然后进行加减运算；
（2）先利用绝对值的意义和立方根的定义计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣6﹣（﹣3）
＝3﹣6+3
＝0；
（2）原式＝﹣+2+2﹣2
＝3﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）解方程组与不等式组
（1）解方程组：
（2）解不等式组：
【分析】（1）利用代入消元法求解可得；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：（1），
将①代入②，得：4x﹣3（2x﹣3）＝1，
解得：x＝4，
将x＝4代入①，得：y＝5，
则方程组的解为；

（2）解不等式＞1﹣，得：x＞，
解不等式2（x﹣3）＜x﹣1，得：x＜5，
则不等式组的解集为＜x＜5．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
21．（8分）为了创建书香校园，切实引导学生多读书，读好书．某中学开展了“好书伴我成长”的读书节活动，为了了解本校学生每周课外阅读时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，将课外阅读时间分为A、B、C、D四组，并利用臭氧所得的数据绘制了如下统计图．

组别
课外阅读t（单位：时）
A
X＜2
B
2≤x＜3
C
3≤x＜4
D
x≥4
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）一共调查了　80　名学生；
（2）扇形统计图中A组的圆心角度数　162°　；
（3）直接补全条形统计图
（4）若该校有2400名学生，根据你所调查的结果，估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有多少人？
【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比可得答案；
（2）用360°乘以A所占百分比即可；
（3）先求得B、C的人数即可补全图形；
（4）用总人数乘以A、B组的百分比之和可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总数为36÷45%＝80（人），
故答案为：80；

（2）扇形统计图中A组的圆心角度数为360°×45%＝162°，
故答案为：162°；

（3）B组人数为80×30%＝24（人），C组人数为80×10%＝8（人），
补全图形如下：


（4）2400×（45%+30%）＝1800（人），
答：估计每周课外阅读时间不足3小时的学生有1800人．
【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从条形统计图，扇形统计图中得到准确的信息．
22．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．
（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？
（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．

【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；
（2）若设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．
【解答】解：（1）相等．理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD
＝∠EDA﹣∠BAD
＝∠B；

（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°，
由（1）知：∠EAC＝∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA＝（x+50）°
在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA＝180°，
∴3x+2（x+50）＝180，
解得：x＝16．
∴∠E＝48°．
【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；
（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．
23．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．

【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；
（2）根据∠ACD＝90°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝67.5°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．
【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠2＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠4＝∠6＝67.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠6＝112.5°．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24．（9分）某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元．请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案．
【分析】（1）关键描述语是：买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元；
设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，列方程组解x，y的值即可；
（2）关键描述语是：本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80本，总金额不超过320元；
设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个；可得m+（2m﹣10）≥80，3（2m﹣10）+5m≤320，求得m的整数值范围．
【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元．（1分）
根据题意可得（3分）
解这个方程组得（4分）
答：甲种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是5元．（5分）

（2）设本次购买乙种笔记本m个，则甲种笔记本（2m﹣10）个．（6分）
根据题意可得m+（2m﹣10）≥80，解这个不等式得m≥30，
3（2m﹣10）+5m≤320 （8分）解这个不等式得m≤31．（9分）
因为m为正整数，所以m的值为：30或31
故本次购进甲笔记本50个、乙笔记本30个；或购进甲笔记本52个、乙笔记本31个．（10分）
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
25．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【分析】（1）①根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
②根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围；
（2）根据新运算列出等式，根据x，y的系数为0，求出a，b应满足的关系式．
【解答】解：（1）①，
解得，；
②，
解得≤m＜，
因为原不等式组有2个整数解，
所以2＜≤3，
解得，﹣4≤p＜﹣；
（2）T（x，y）＝ax+2by﹣1，T（y，x）＝ay+2bx﹣1，
所以ax+2by﹣1＝ay+2bx﹣1，
所以（a﹣2b）（x﹣y）＝0
所以a＝2b．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
26．（10分）已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．
（1）求A点坐标．
（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG＝45°，设OF＝a，AG＝b，FG＝c，试探究﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）根据非负数的性质可得m、n的值；
（2）连接OC，由AB＝BO知∠BAO＝∠BOA＝45°，由△ABC，△OAD为等边三角形知∠BAC＝∠OAD＝∠AOD＝60°、OA＝OD，继而由∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC得∠DAC＝∠BAO＝45°，根据OB＝CB＝2、∠OBC＝30°知∠BOC＝75°，∠AOC＝∠BAO﹣∠BOA＝30°，∠DOC＝∠AOC＝30°，证△OAC≌△ODC得AC＝CD，再根据∠CAD＝∠CDA＝45°知∠ACD＝90°，从而得AC⊥CD；
（3）在x轴负半轴取点M，使得OM＝AG＝b，连接BG，先证△BAG≌△BOM得∠OBM＝∠ABG、BM＝BG，结合∠FBG＝45°知∠ABG+∠OBF＝45°，从而得∠OBM+∠OBF＝45°，∠MBF＝∠GBF，再证△MBF≌△GBF得MF＝FG，即a+b＝c，代入原式可得答案．
【解答】解（1）由题得m＝2，n＝2，
∴A（2，2）；

（2）如图1，连接OC，

由（1）得AB＝BO＝2，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠BOA＝45°，
∵△ABC，△OAD为等边三角形，
∴∠BAC＝∠OAD＝∠AOD＝60°，OA＝OD
∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC
即∠DAC＝∠BAO＝45°
在△OBC中，OB＝CB＝2，∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BAO﹣∠BOA＝30°，
∴∠DOC＝∠AOC＝30°，
在△OAC和△ODC中，
∵，
∴△OAC≌△ODC，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；

（3）如图，在x轴负半轴取点M，使得OM＝AG＝b，连接BG，

在△BAG和△BOM中，
∵，
∴△BAG≌△BOM
∴∠OBM＝∠ABG，BM＝BG
又∠FBG＝45°
∴∠ABG+∠OBF＝45°
∴∠OBM+∠OBF＝45°
∴∠MBF＝∠GBF
在△MBF和△GBF中，
∵，
∴△MBF≌△GBF
∴MF＝FG
∴a+b＝c代入原式＝0．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
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