2020-2021学年第四章 几何图形初步综合与测试导学案及答案

这是一份2020-2021学年第四章 几何图形初步综合与测试导学案及答案，共17页。
第7讲 几何图形初步
中考大纲



中考内容
中考要求
A
B
C
图形初步
了解展开图的概念；了解直棱柱、圆柱、圆锥等几何体的展开图
能根据展开图判断出实物模型；能根据视图和展开图解决一些简单的实际问题

直线、射线和线段
会比较线段的长短；理解线段的和、差；理解线段中点的意义；理解两点间距离的意义
尺规作图（基本作图）：作一条线段等于已知线段；掌握两个基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短；能度量两点间的距离，能结合图形认识线段间的数量关系
利用两点间距离的有关内容解决有关问题

知识网络图





1图形的认识
知识概述


一． 图形分类
1. 几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
2. 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

3. 平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：

二． 立体图形与平面图形的联系：
1. 立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
2. 对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；

3. 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．

小试牛刀


【例】（2017秋•郑州期末）乐乐玩橡皮泥时，将一个底面直径为4cm，高为4cm的圆柱，捏成底面直径为3.2cm的圆柱，则圆柱的高变成了（　　）
A．7.5cm B．6.25cm C．5cm D．4.75cm
【解答】解：设高变成了xcm，根据题意得
π×（4÷2）2×4=π×（3.2÷2）2×x，
解得x=6.25，
答：高变成了6.25cm．
故选：B．
　
【练习】（2017秋•汝州市校级期中）若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（　　）
A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱
C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱
【解答】解：一个棱柱有10个顶点，则它是五棱柱，
五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．
所以选B．
再接再厉


【例】（2017秋•福田区校级期中）n棱柱的棱数与面数之和等于（　　）
A．3n B．4n+2 C．3n+2 D．2n+2
【解答】解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数=2．
所以n棱柱的棱数与面数之和：3n+（n+2）=4n+2
故选：B．
　
【例】（2017秋•揭西县校级月考）一个圆柱体削去12立方分米后，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥体体积是（　　）立方分米．
A．24 B．，12 C．6 D．18
【解答】解：圆锥的体积为：12÷2=6（立方分米）；
答：这个圆锥体体积是6立方分米．
故选：C．
　
【练习】（2017秋•汝州市校级月考）用一张长20cm，宽8cm的纸片围成一个高为8cm的圆柱，则该圆柱的底面半径是（　　）
A．10cm B．cm C．20cm D．cm
【解答】解：根据圆柱的侧面积公式，得
圆柱的底面半径==（m）；
故选：B．

总述

讨论一下：请画出下面常见的立体图形：圆柱、圆锥、球、正方体、三棱锥、三棱柱


2点、线、面、体
知识概述


1. 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥






圆柱
圆锥
球




2. 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
3. 线：面与面相交的地方形成线．
4. 点：线与线相交的地方是点．
5. 点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．

小试牛刀


【例】（2018•河北模拟）将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故A正确；
B、上面大下面小，侧面是曲面，故B错误；
C、是一个圆台，故C错误；
D、下、上面一样大、侧面是曲面，故D错误；
故选：A．
　
【练习】（2017秋•文登区期末）将下列图形绕着直线旋转一周正好得到如图所示的图形的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据选项中图形的特点，
A、可以通过旋转得到两个圆柱；故本选项正确；
B、可以通过旋转得到一个圆柱，一个圆筒；故本选项错误；
C、可以通过旋转得到一个圆柱，两个圆筒；故本选项错误；
D、可以通过旋转得到三个圆柱；故本选项错误．
故选：A．
再接再厉

　
【例】（2016秋•江阴市期末）如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：左边的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是空心圆柱，
故选：D．
　　
【巩固】（2017秋•烟台期中）将下面平面图形绕直线l旋转一周，可得到如图所示立体图形的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，只有B选项图形绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形．
故选：B．

总述

讨论一下：正方体平面展开图对立面及邻面的找法：


3直线、射线、线段
知识概述


一． 直线、射线、线段的概念
1. 在直线的基础上定义射线、线段：
（1） 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
（2） 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
2. 在线段的基础上定义直线、射线：
（1） 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
（2） 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
二． 直线
1． 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
2． 关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
3． 直线的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．

注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
（2） 用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．

注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
4． 点与直线的关系：
（1） 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
（2） 一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
5． 相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点

三． 射线
射线的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
（2） 用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．

注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
四． 线段
1． 线段的表示方法：
（1） 用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
（2） 用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．

注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
2． 线段长短的比较
（1） 测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
（2） 作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
3． 中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．

，

三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．

，
4． 关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
5． 两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
五． 直线、射线、线段的主要区别：
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线

小试牛刀


【例】（2017秋•福田区期末）如图，AB=24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB=1：3，则DB的长度为（　　）

A．12 B．18 C．16 D．20
【解答】解：∵AB=24，点C为AB的中点，
∴BC=AB=×24=12，
∵AD：CB=1：3，
∴AD=×12=4，
∴DB=AB﹣AD=24﹣4=20．
故选：D．
　
【练习】（2017秋•郓城县期末）如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=10.5cm，那么BC的长为（　　）

A．A2.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【解答】解：由CB=CD，得
CD=BC．
由D是AC的中点，得
AD=CD=BC．
由线段的和差，得
AD+CD+BC=AB，
即BC+BC+BC=10.5．
解得BC=4.5cm，
故选：C．
再接再厉

　
【练习】（2017秋•利川市期末）如图，点C为线段AB上一点，点C将AB分成2：3两部分，M是AC的中点，N是BC的中点，若AN=35cm．求AB的长．

【解答】解：∵点C将AB分成2：3两部分，
∴设AC=2xcm，BC=3xcm，
∵N是BC的中点，
∴CN=BC=×3x=1.5x，
∵AN=35cm，
∴2x+1.5x=35，
解得：x=10，
∴AB=5×10=50cm．
　
【巩固】（2017秋•涡阳县期末）如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=acm，其他条件不变，你能猜出线段MN的长度吗？并说明理由．

【解答】解：（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC=8，CB=6，
∴CM=AC=×8=4，CN=BC=×6=3，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=a（cm）．
　
【练习】（2017秋•前郭县期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，且AB：BC：CD=2：3：5
（1）若AD=24cm，求AB、BC、CD的长；
（2）若点M、N是AC、CD中点，且AD=a，求MN的长．

【解答】解：（1）∵AB：BC：CD=2：3：5，AD=24cm，
∴AB=AD=×24cm=4.8cm；
BC=AD=×24cm=7.2cm；
CD=AD=12cm；

（2）∵点M、N是AC、CD中点，

∴CM=AC，CN=CD，
∵AD=a，
∴MN=CM+CN=AC+CD=AD=a．
总述


讨论一下：“若 ，则说明是线段的中点”。这句话对吗，如果不对，应该加一个什么条件？


综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（　　）
A．9cm B．1cm C．9cm或1cm D．无法确定
【解答】解：当点C在线段AB上时，则AB﹣AC＝BC，所以BC＝5cm﹣4cm＝1cm；
当点C在线段BA的延长线上时，则AC﹣BC＝AB，所以BC＝5cm+4cm＝9cm．
故选：C．
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解：∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴AD＝CD＝，BE＝CE＝，
∴DE＝CD+DE＝AB＝10，故AB＝20．
故选：B．
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（　　）
A．8cm B．8cm或2cm C．8cm或4cm D．2cm或4cm
【解答】解：∵AB＝12cm．C是AB的中点，
∴AC＝＝6cm，
当点D在AC之间时，AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4cm；
当点D在BC之间时，AD＝AC+CD＝6+2＝8cm．
故AD的长为8cm或4cm．
故选：C．
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【解答】解：①点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝CB﹣BD＝AC﹣DB，故①正确；
②2AD﹣AB＝2×AB﹣AB＝AB﹣AB＝BC＝．故②正确；
③点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故③正确；
④2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD＝BC，故④错误．
故正确的有①②③．
故选：B．
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（　　）条线段．
A．8 B．9 C．12 D．10
【解答】解：根据题意画图：

由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，
共10条．
故选：D．
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．

【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝BC＝4，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝AC+CD＝6；

（2）∵BC＝4，CE＝BC，
∴CE＝×4＝1，
当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；
当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5．
∴AE的长为3或5．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为　5cm　；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
【解答】解：（1）当点C在线段AB之间时，AB＝16，BC＝10，故AC＝16﹣10＝6cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝3cm，
∴PQ＝AP﹣AQ＝8﹣3＝5cm；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝16，BC＝10，故AC＝AB+BC＝16+10＝26cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝13cm，
∴PQ＝AQ﹣AP＝13﹣8＝5cm；
故答案为：5cm；

（2）当点C在线段AB之间时，AB＝m，BC＝n，故AC＝m﹣n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AP﹣AQ═；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝m，BC＝n，故AC＝AB+BC＝m+n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝；

（3）规律：PQ的长度总是等于BC的一半．
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝　8　cm，OB＝　4　cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；

【解答】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，解得OB＝4cm，
OA＝2OB＝8cm．
故答案为：8，4；

（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x＝；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；

（3）当0≤t＜4时，依题意有
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
当4≤t＜6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8（不合题意舍去）；
当t≥6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
故当t为1.6s或8s时，2OP﹣OQ＝4．