2021学年第四章 几何图形初步综合与测试导学案及答案

这是一份2021学年第四章 几何图形初步综合与测试导学案及答案，共21页。

第8讲 角的概念及运算
中考大纲



中考内容
中考要求
A
B
C
角
理解角的概念,认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，会计算角的和、差
尺规作图（基本作图）：作一个角等于已知角；能比较角的大小；能结合图形认识角与角之间的数量关系

角平分线
了解角平分线的概念
尺规作图（基本作图）：作一个角的平分线；能利用角平分线的性质与判定解决有关简单问题
运用角平分线的有关内容解决有关问题

知识网络图





1角的概念及表示方法
知识概述


一． 角的定义
1． 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2． 定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
（1） 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
（2） 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
3． 由角的定义可知：
（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2） 顶点是这两条边的交点；
（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的；
（4） 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
（5） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
二． 角的表示方法
1． 利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
2． 利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

3． 用数字来表示角，如图．

4． 用希腊字母来表示角，如图．


小试牛刀


【例】（2017秋•兰陵县期末）如图，下列表示角的方法，错误的是（　　）

A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可以用∠O来表示
C．∠β表示的是∠BOC
D．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
【解答】解：由于顶点O处，共有3个角，所以∠AOC不可以用∠O来表示，故B错误
故选：B．
　
【练习】（2017秋•尚志市期末）下列说法中正确的个数是（　　）
①在同一图形中，直线AB与直线BA不是同一条直线
②两点确定一条直线
③两条射线组成的图形叫做角
④一个点既可以用一个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示
⑤若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①在同一图形中，直线AB与直线BA是同一条直线，原来的说法是错误的；
②两点确定一条直线是正确的；
③有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原来的说法是错误的；
④一个点可以用一个大写字母表示，不可以用一个小写字母表示，原来的说法是错误的；
⑤若AB=BC，则点B是线段AC垂直平分线上的点，原来的说法是错误的．
故选：A．
再接再厉

　
【例】（2017秋•双城市期末）如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有____　个．

【解答】解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；
以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；
以OC为一边的角，∠COB．
共5个角．
故答案是：5．
总述

讨论一下：角的定义有几个？分别是什么？它们有什么不同？









2度量与计算
知识概述


一． 角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
二． 角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
三． 角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
四． 度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．

我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．


五． 角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。


小试牛刀


【例】（2017秋•红桥区期末）计算：77°53′26″+33.3°=_____．
【解答】解：77°53′26″+33.3°=77°53′26″+33°18′=110°71′26″=111°11′26″．
故答案为：111°11′26″．
　
【练习】（2017秋•丰台区期末）计算：12°20′×4=____．
【解答】解：原式=49°20′．
故答案是：49°20′．
再接再厉


【例】（2017秋•榆树市期末）计算：90°﹣（36°31′52″+12°22′14″）．
【解答】解：90°﹣（36°31′52″+12°22′14″）
=90°﹣48°53′66″
=90°﹣48°54′6″
=89°59′60″﹣48°54′6″
=41°5′54″．
　
【练习】（2017秋•柘城县期末）计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4
【解答】解：原式=90°65′﹣48°88′52′′÷4
=90°65′﹣12°22′13′′
=78°42′47′′
　
【例】（2017春•单县校级月考）度、分、秒的计算
①56°18′+72°48′=
②131°28′﹣51°32′15″=
③12°30′20″×2=
④12°31′21″÷3=
【解答】解：①56°18′+72°48′=129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″
③12°30′20″×2=25°40″；
④12°31′21″÷3=4°10′27″．
总述

讨论一下：利用一副三角板可以画出哪些小于的角度？
15°，30°，45° ，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°











3角平分线
知识概述


一． 角平分线
1． 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．

，
2． 角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．

，
3． 角平分线的画法：
（1） 测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
（2） 用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．


小试牛刀

　
【例】（2017秋•前郭县期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠DOC=35°，则∠AOD等于（　　）

A．35° B．70° C．110° D．145°
【解答】解：∵射线OC平分∠DOB，
∴∠BOD=2∠BOC=2×35°=70°．
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°．
故选：C．
【练习】（2017秋•雅安期末）已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
【解答】

解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；

如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
故选：C．
再接再厉


【例】（2017秋•沂水县期末）已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【解答】

解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；

∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．
故选：C．
【练习】（2017秋•钦州期末）如图所示，已知点O在直线AB上，∠AOE：∠EOD=1：3，OC是∠BOD的平分线，∠EOC=115°，求∠AOE和∠BOC．

【解答】解：∵∠AOE：∠EOD=1：3，
∴设∠AOE=x，则∠EOD=3x，
又∵∠EOC=115°，
∴∠COD=115°﹣3x，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠COB=∠COD=115°﹣3x，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB=180°，
∴x+3x+2（115﹣3x）=180°，
解得，x=25°，
∴∠AOE=25°，
∴∠BOC=115°﹣3×25°=40°．
【练习】（2017秋•抚州期末）如图，已知A、O、B三点在一条直线上，OC平分∠AOD，∠AOC+∠EOB=90°，试问：∠DOE和∠EOB之间有怎样的关系？请说明理由．

【解答】解：∠DOE=∠EOB，
理由如下：∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
∵∠AOC+∠EOB=90°，
∴∠COE=180°﹣（∠AOC+∠EOB）=180°﹣90°=90°，
即∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠EOB．
总述

思考：如果将一个平角五等分，那么每份中的角是多少度？如果要是每份的角是，那么这个平角要等分成多少份？


4余角与补角
知识概述


一． 余角与补角
1． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
2． 如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
二． 余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
三． 方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

小试牛刀


【例】（2018•河北模拟）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=α，∠BOC=β，则β的余角可表示为（　　）

A．（α+β） B．α C．（α﹣β） D．β
【解答】解：由邻补角的定义，得
∠α+∠β=180°，
两边都除以2，得
（α+β）=90°，
β的余角是（α+β）﹣β=（α﹣β），
故选：C．
　
【练习】（2017秋•松滋市期末）如果∠α和∠β互余，则下列表示∠β的补角的式子中：
①180°﹣∠β，②90°+∠α，③2∠α+∠β，④2∠β+∠α，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②
【解答】解：因为∠α和∠β互余，
所以表示∠β的补角的式子：①180°﹣∠β，正确；②90°+∠α，正确；③2∠α+∠β，正确④2∠β+∠α，错误；
故选：A．
再接再厉


【例】（2017秋•邗江区期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠AOC的度数．

【解答】解：（1）∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠EOD与∠COE互补，
又∠EOD=90°+∠BOD，∠BOF=90°+∠BOD，
∴∠BOF=∠EOD，
∴∠BOF与∠COE互补，
∴与∠COE互补的角是：∠EOD，∠BOF；
（2）设∠AOC=x，则∠EOF=5x，
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠EOF+∠BOD=∠EOF+∠AOC=5x+x=360°﹣2×90°，
即6x=180°，
解得∠AOC=x=30°．
【例】（2017秋•大冶市期末）如图，已知∠AOB=155°，∠AOC=∠BOD=90°．
（1）写出与∠COD互余的角；
（2）求∠COD的度数；
（3）图中是否有互补的角？若有，请写出来．

【解答】解：（1）∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠COD+∠AOD=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC；
（2）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=65°，
∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=25°；
（3）∠COD与∠AOB、∠AOC与∠BOD互补．
　
【练习】（2017秋•市南区期末）已知，如图，∠AOC=90°，∠DOE=90°，∠AOB=56°，E，O，B三点在同一条直线上，OF平分∠DOE，求∠COF的度数．

【解答】解：∵∠AOC=90°，∠DOE=90°，E，O，B三点在同一条直线上，
∴∠BOD=90°=∠AOC，
∴∠COD=∠AOB=56°，
∵OF平分∠DOE，∠DOE=90°，
∴∠DOF=∠DOF=45°，
∴∠COF=∠COD+∠DOF=56°+45°=101°．
总述

讨论一下：对于一个锐角，它的的余角与补角有什么数量关系，举例说明







综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（　　）

A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β
【解答】解：如图：

解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（　　）

A．南偏东70° B．北偏东30° C．南偏东30° D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（　　）度．

A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝　41°52′　．

【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝　15°或135°　．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．

7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝　20　°．

【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？

【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．

9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝　59°40′　，∠AOM＝　29°20′　，∠BON＝　60°40′　；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝　2α　（用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．