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    2022年初一第5讲.一元一次方程 - 满分班(带答案) 学案

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    人教版七年级上册第二章 整式的加减综合与测试学案

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    这是一份人教版七年级上册第二章 整式的加减综合与测试学案,共18页。
    第5讲 一元一次方程
    中考大纲

    中考内容
    中考要求
    A
    B
    C
    方程
    了解方程是描述现实世界数量关系的有效模型;了解方程的解的意义;会由方程的解求方程中待定系数的值;了解估计方程解的过程
    掌握等式的基本性质;能根据具体问题中的数量关系列出方程;能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理
    运用方程与不等式的有关内容解决有关问题
    一元一次
    方程
    了解一元一次方程的有关概念
    能解一元一次方程

    知识网络图




    1等式与方程
    知识概述


    一. 等式
    1. 等式的概念:含有等号的式子叫做等式.
    在等式中,等号左、右两边的式子,分别叫做这个等式的左边、右边.
    等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是用式子表示的运算律、运算法则.
    2. 等式的性质:
    (1) 等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
    如果,那么
    (2) 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为的数,结果仍相等.
    如果,那么;
    如果,那么.
    注意:①在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行.
    ②同时加或同时减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边.
    ③等式变形过程中,两边同加或同减,同乘或同除以的数或整式必须相同.
    ④在等式变形中,以下两个性质也经常用到:
    3. 等式的对称性,即:如果,那么.
    4. 等式的传递性,即:如果,,那么(又称为等量代换).
    5. 移项:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
    二. 方程
    方程的概念:含有未知数的等式叫做方程.
    它有两层含义:① 方程必须是等式;② 等式中必须含有未知数.
    小试牛刀


    【例】(2018•安徽)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%,假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则(  )
    A.b=(1+22.1%×2)a B.b=(1+22.1%)2a
    C.b=(1+22.1%)×2a D.b=22.1%×2a
    【解答】解:因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,所以b=(1+22.1%)2a.
    故选:B.
    再接再厉


    【例】(2017秋•太原期末)设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体,如图(1),(2)所示,天平保持平衡,如果要使得图(3)中的天平也保持平衡,那么在右盘中应该放“■”的个数为(  )

    A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
    【解答】解:根据图示可得,
    2×○=△+□(1),
    ○+□=△(2),
    由(1),(2)可得,
    ○=2□,△=3□,
    ∴○+△=2□+3□=5□,
    【练习】(2017秋•山亭区期末)设x,y,c表示有理数,下列结论始终成立的是(  )
    A.若x=y,则x+c=y﹣c B.若x=y,则xc=yc
    C.若x=y,则 D.若,则2x=3y
    【解答】解:A、错误.c≠0时,等式不成立;
    B、正确、
    C、错误.c=0时,不成立;
    D、错误.应该是:若,则3x=2y;
    故选:B.
    【巩固】(2017秋•农安县期末)新学期开学,两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上,请根据图中所给的数据信息,解答下列问题.
    (1)一本数学课本的高度是多少厘米?
    (2)讲台的高度是多少厘米?
    (3)请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度的代数式(用含有x的代数式表示)
    (4)若桌面上有56本同样的数学课本,整齐叠放成一摞,从中取走18本后,求余下的数学课本距离地面的高度.

    【解答】解:(1)由题意可得,
    一本数学课本的高度是:(88﹣86.5)÷3=1.5÷3=0.5(厘米),
    答:一本数学课本的高度是0.5厘米;
    (2)讲台的高度是:86.5﹣3×0.5=86.5﹣1.5=85(厘米),
    即讲台的高度是85厘米;
    (3)整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度是:(85+0.5x)厘米;
    (4)余下的数学课本距离地面的高度:85+(56﹣18)×0.5=85+38×0.5=85+19=104(厘米),
    即余下的数学课本距离地面的高度是104厘米.
     总述

    等式的变形问题
    考点:等式的两个基本性质,一定要牢记成立的条件.
    易错点:两边同时乘或除以一个字母(式子)时,一定要保证该字母(式子)不为零.
    做题方法:牢记“”这个特殊情况,用赋值法检验.



    2方程的解
    知识概述
    知识网络图


    一. 方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
    1. 只含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根.
    2. 求解的过程就是解方程.
    二. 关于方程中的未知数和已知数:
    1. 已知数:一般是具体的数值,如中(的系数是,是已知数.但可以不说.)和是已知数,如果方程中的已知数需要用字母表示的话,习惯上用、、、、等表示.
    2. 未知数:是指要求的数,未知数通常用、、等字母表示.如:关于、的方程中,、、是已知数,、是未知数.

    小试牛刀


    【例】(2017秋•灵石县期末)方程,▲处被墨水盖住了,已知方程的解x=2,那么▲处的数字是(  )
    A.2 B.3 C.4 D.6
    【解答】解:由题意,得
    =2,
    解得▲=4.
    故选:C.
    【例】(2017秋•港闸区期末)已知关于x的一次方程(3a+4b)x+1=0无解,则ab的值为(  )
    A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
    【解答】解:∵关于x的方程(3a+4b)x+1=0无解.
    ∴当且仅当3a+4b=0,
    ∴a=﹣b,
    ∴ab=﹣b2,
    ∵b2≥0,
    ∴﹣b2≤0,即ab的值为非正数,
    故选:B.
    再接再厉


    【例】(2017秋•沾化区期末)若y=4是方程﹣m=5(y﹣m)的解,则关于x的方程(3m﹣2)x+m﹣5=0的解是多少?
    【解答】解:将y=4代入方程﹣m=5(y﹣m)得:m=4
    再将m=4代入方程入(3m﹣2)x+m﹣5=0得:x=.
    【练习】(2017秋•吉州区期末)已知关于x的方程2(x+1)﹣m=﹣的解比方程5(x﹣1)﹣1=4(x﹣1)+1的解大2.
    (1)求第二个方程的解;
    (2)求m的值.
    【解答】解:(1)5(x﹣1)﹣1=4(x﹣1)+1,
    5x﹣5﹣1=4x﹣4+1,
    5x﹣4x=﹣4+1+1+5,
    x=3;
    (2)由题意得:方程2(x+1)﹣m=﹣的解为x=3+2=5,
    把x=5代入方程2(x+1)﹣m=﹣得:
    2(5+1)﹣m=﹣,
    12﹣m=﹣,
    m=22.
     总述

    解题方法总结:
    (1)若已知解,求字母的值时,则直接代入方程。
    (2)判断是否是方程的解时,代入方程验证。
    (3)同解问题,先解出其中一个方程,代入另一个含有字母的方程即可。







    3一元一次方程
    知识概述


    一. 一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数是,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
    注意:这里的“元”是指未知数,“次”是指含未知数的项的最高次数.
    二. 一元一次方程的形式:
    1. 最简形式:方程(,,为已知数)叫一元一次方程的最简形式.
    2. 标准形式:方程(其中,,是已知数)叫一元一次方程的标准形式.
    注意:
    (1) 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形(必须为恒等变换)为最简形式或标准形式来验证.
    如:方程是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误.
    (2) 方程与方程是不同的,方程的解需要分类讨论完成.

    小试牛刀


    【例】(2018春•浦东新区期中)下列方程=10,3x﹣2y=35,x2﹣14=0,4z﹣3(z+2)=1中是一元一次方程的有(  )
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    【解答】解:一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.
    4z﹣3(z+2)=1
    故选:B.
    【例】(2017秋•海曙区期末)已知关于x的方程(m+3)x|m+4|+18=0是一元一次方程,试求:
    (1)m的值;
    (2)2(3m+2)﹣3(4m﹣1)的值.
    【解答】解:(1)由题意,得
    |m+4|=1且m+3≠0,
    解得m=﹣5.
    (2)当m=﹣5时,2(3m+2)﹣3(4m﹣1)=2×(﹣15+2)﹣3(﹣20﹣1)=﹣26+63=37.
     再接再厉


    【练习】(2017秋•上杭县期中)已知关于x的方程(m+5)x|m|﹣4+18=0是一元一次方程.试求:
    (1)m的值;
    (2)3(4m﹣1)﹣2(3m+2)的值.
    【解答】解:(1)依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0,解之得m=5,
    故m=5;
    (2)3(4m﹣1)﹣2(3m+2)=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7,
    当m=5时,原式=6×5﹣7=23.
    【例】(2016秋•余杭区期末)已知关于x的方程(m+3)x|m+4|+18=0是一元一次方程,试求:
    (1)m的值;
    (2)2(3m+2)﹣3(4m﹣1)的值.
    【解答】解:(1)依题意有|m+4|=1且m+3≠0,解之得m=﹣5,
    故m=﹣5;

    (2)当m=﹣5时,2(3m+2)﹣3(4m﹣1)=﹣6m+7=﹣6×(﹣5)+7=37.
     
    【练习】(2017秋•西城区校级期中)已知(m2﹣4)x2﹣(m+2)x+8=0是关于未知数x的一元一次方程,求代数式﹣199(m+x)(m﹣2x)+m的值.
    【解答】解:由题意,得
    m2﹣4=0且m+2≠0,
    解得m=2,
    一元一次方程是
    ﹣4x+8=0,
    解得x=2,
    ﹣199(m+x)(m﹣2x)+m=﹣199×(2+2)×(2﹣2×2)+2=1594.
    【巩固】(2017秋•武昌区期中)若(m﹣4)x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程,求m2﹣2m+1的值.
    【解答】解:由题意得:2|m|﹣7=1,且m﹣4≠0,
    解得:m=﹣4,
    m2﹣2m+1=16+8+1=25.
    总述

    判断是否是一元一次方程,要看是否满足下面的条件:
    1. 观察给出的式子,若含有、、,则不是一元一次方程;
    2. 若不含上述式子,则进行化简整理,整理后只含有一个未知数,且次数为1,则是一元一次方程;
    3. 化简后不能含有、、、、等形式;










    4一元一次方程的解法
    知识概述


    一. 解方程:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
    二. 解一元一次方程的一般步骤:
    变形名称
    依据
    注意事项
    去分母
    等式性质2
    ① 不含分母的项不要漏乘
    ② 注意分数线有括号作用,去掉分母后,如果分子是多项式,要加括号
    去括号
    分配律,去括号法则
    ① 运用分配律去括号时,不要漏乘括号内的项
    ② 如果括号前是“-”号,去括号时,括号内各项要变号
    移项
    等式性质1
    ① 移项必须变号
    ② 一般把含未知数的项移到左边,其他项移到右边
    合并同类项
    合并同类项法则
    合并同类项是系数相加,字母及其指数不变
    系数化为1
    等式性质2
    分子、分母不要颠倒

    小试牛刀


    【例】(2018春•浦东新区期中)当取什么整数时,方程2kx﹣6=(k+2)x的解x的值是正整数?
    【解答】解:由原方程,得
    (2k﹣k﹣2)x=6,
    即(k﹣2)x=6,
    ∵方程的解是正整数,则k﹣2=1或2或3或6.
    解得:k=3或4或5或8.
    即k取3或4或5时或8,方程2kx﹣6=(k+2)x的解x的值是正整数.
    【例】(2018春•普陀区期中)若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2,求a2018的值.
    【解答】解:把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中,
    得:2×(﹣2)+a=﹣2﹣1,
    解得:a=1,
    所以a2018=12018=1,
    答:a2018的值为1.
    【巩固】(2018春•唐河县期中)若关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程的解,试确定a的取值范围.
    【解答】解:∵3(x+4)=2a+5,
    ∴x=,
    ∵,
    ∴x=﹣a,
    ∴>﹣a,
    解得a>.
    再接再厉


    【例】(2018春•普陀区期中)若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2,求a2018的值.
    【解答】解:把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中,
    得:2×(﹣2)+a=﹣2﹣1,
    解得:a=1,
    所以a2018=12018=1,
    答:a2018的值为1.
    【例】(2018春•唐河县期中)若关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程的解,试确定a的取值范围.
    【解答】解:∵3(x+4)=2a+5,
    ∴x=,
    ∵,
    ∴x=﹣a,
    ∴>﹣a,
    解得a>.
    总述

    解方程时容易犯下面的错误,要特别注意:
    变形名称
    依据
    注意事项
    去分母
    等式性质2
    ① 不含分母的项不要漏乘
    ② 注意分数线有括号作用,去掉分母后,如果分子是多项式,要加括号
    去括号
    分配律,去括号法则
    ① 运用分配律去括号时,不要漏乘括号内的项
    ② 如果括号前是“-”号,去括号时,括号内各项要变号
    移项
    等式性质1
    ① 移项必须变号
    ② 一般把含未知数的项移到左边,其他项移到右边
    合并同类项
    合并同类项法则
    合并同类项是系数相加,字母及其指数不变
    系数化为1
    等式性质2
    分子、分母不要颠倒


    综合练习
    一.选择题(共2小题)
    1.解方程+=0时,去分母正确的是(  )
    A.4(2x﹣1)+9x﹣4=12 B.4(2x﹣1)+3(3x﹣4)=12
    C.8x﹣1+9x+12=0 D.4(2x﹣1)+3(3x﹣4)=0
    【解答】解:+=0
    在方程两边同乘以12,即可得
    4(2x﹣1)+3(3x﹣4)=0
    ∴去分母正确的是答案D.
    故选:D.
    2.下列变形中:①将方程3x=﹣4的系数化为1,得x=﹣;②将方程5=2﹣x移项得x=5﹣2;③将方程2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9=1;④将方程=1+去分母得2(2x﹣1)=1+3(x﹣3),其中正确的变形有(  )
    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    【解答】解:①将方程3x=﹣4的系数化为1,得x=﹣,错误;
    ②将方程5=2﹣x移项得x=2﹣5,错误;
    ③将方程2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1去括号得4x﹣2﹣3x+9=1,错误;
    ④将方程=1+去分母得2(2x﹣1)=6+3(x﹣3),错误;
    故选:A.
    二.填空题(共2小题)
    3.设a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算=ad﹣bc,则满足等式=4的x的值为  .
    【解答】解:根据题意得:
    5x﹣3(x+1)=4,
    去括号得:5x﹣3x﹣3=4,
    移项得:5x﹣3x=4+3,
    合并同类项得:2x=7,
    系数化为1得:x=,
    故答案为:.
    4.当代数式2x﹣2与3+x的值相等时,x= 5 .
    【解答】解:根据题意得:2x﹣2=3+x,
    移项合并得:x=5,
    故答案为:5.
    三.解答题(共4小题)
    5.解方程:
    (1)4x+3=2(x﹣1)+1;
    (2)x;
    (3);
    (4)x﹣+2.
    【解答】解:
    (1)原式去括号得:
    4x+3=2x﹣1
    移项并合并同类项得,2x=﹣4
    系数化为1得,x=﹣2
    (2)原式去分母得,4(3x+7)=28﹣21x
    去括号得,12x+28=28﹣21x
    移项合并同类项得,33x=0
    系数化为1得,x=0
    (3)原式去括号得,x﹣4=2
    移项得,x=6
    (4)原式去分母得,18x﹣3(2﹣18x)=2x+36
    去括号得,18x﹣6+54x=2x+36
    移项合并同类项得,70x=42
    系数化为1得,x=
    6.解方程:
    (1)x﹣3(x+1)﹣1=2x
    (2)y﹣=3+
    【解答】解:(1)去括号得:x﹣3x﹣3﹣1=2x,
    移项得:x﹣3x﹣2x=3+1,
    合并同类项得:﹣4x=4,
    系数化为1得:x=﹣1,
    (2)原方程可整理得:y﹣(4y+20)=3+,
    方程两边同时乘以2得:2y﹣2(4y+20)=6+(y+3),
    去括号得:2y﹣8y﹣40=6+y+3,
    移项得:2y﹣8y﹣y=6+3+40,
    合并同类项得:﹣7y=49,
    系数化为1得:y=﹣7.
    7.解方程:
    (1)x﹣9=4x+27
    (2)1﹣x=3x+
    (3)12(2﹣3x)=4x+4
    (4)=
    (5)﹣=1
    (6)﹣=12
    【解答】解:(1)移项得:x﹣4x=27+9,
    合并同类项得:﹣3x=36,
    系数化为1得:x=﹣12,
    (2)方程两边同时乘以2得:2﹣3x=6x+5,
    移项得:﹣3x﹣6x=5﹣2,
    合并同类项得:﹣9x=3,
    系数化为1得:x=﹣,
    (3)去括号得:24﹣36x=4x+4,
    移项得:﹣36x﹣4x=4﹣24,
    合并同类项得:﹣40x=﹣20,
    系数化为1得:x=,
    (4)方程两边同时乘以24得:4(2x﹣1)=3(5x+1),
    去括号得:8x﹣4=15x+3,
    移项得:8x﹣15x=3+4,
    合并同类项得:﹣7x=7,
    系数化为1得:x=﹣1,
    (5)方程两边同时乘以6得:2(2x+1)﹣(5x﹣1)=6,
    去括号得:4x+2﹣5x+5=6,
    移项得:4x﹣5x=6﹣5﹣2,
    合并同类项得:﹣x=﹣1,
    系数化为x=1,
    (6)原方程可整理得:﹣(2x+4)=12,
    方程两边同时乘以3得:10x﹣10﹣3(2x+4)=36,
    去括号得:10x﹣10﹣6x﹣12=36,
    移项得:10x﹣6x=36+12+10,
    合并同类项得:4x=58,
    系数化为1得:x=.
    8.化简或解方程:
    (1)化简:3a2﹣[5a﹣(2a﹣3)+4a2]
    (2)解方程:+1=
    【解答】解:(1)3a2﹣[5a﹣(2a﹣3)+4a2]
    =3a2﹣[5a﹣2a+3+4a2]
    =3a2﹣5a+2a﹣3﹣4a2
    =﹣a2﹣3a﹣3;
    (2)+1=,
    2(2x﹣1)+6=2x+1,
    4x﹣2+6=2x+1,
    4x﹣2x=1+2﹣6,
    2x=﹣3,
    x=﹣1.5.

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